Vektorgeometrie. Einen Punkt in Ebene Setzen

Question

 

ich habe folgende Gleichung gegeben:

E=(3, -4, 1)+R*(-1, 0, 2)+R*(3, 1, -3)

ist das jetzt die Koordinatenform? Weil eigentlich müsste doch noch X= .. davor stehen?

naja, wenn ich jetzt einen Punkt einsetzen möchte (um zu prüfen ob er in der Ebene liegt), kann ich dann folgendes Gleichungssystem verwenden:

P1= 3-1λ+3μ

P2=-4+0λ+1μ

P3=1+2λ-3μ

?

Answer 1

Du hast recht. Das x=... fehlt.

Das nennt sich Parameterform.

und mit deinen drei Gleichungen, nimmst du etwa die ersten

zwei und rfechnest damit Lambda und My aus und

schaust ob das in der 3. auch stimmt.

Dann liegt der Punkt in der Ebene, sonst nicht.

Comments

Danke schon mal für die Antwort!

Achso, ja klar. Ist das also auch ohne dem X=.. eine Parameterform? Und darf ich trotzdem einfach so vorgehen wie oben beschrieben?

und die koordinatenform wäre dann sowas wie : 3x1+2x2+4x3+ 12 = 0 (als beispiel)  oder?

Answer 2

Deine Parameterform sollte zwei verschiedene Parameter haben. Ein R doppelt geht nicht

E: X = [3, -4, 1] + r·[-1, 0, 2] + s·[3, 1, -3]

Ob jetzt E = oder X = davor steht ist eigentlich fast egal. Typischerweise steht dort aber 

E: X = 

X sollte dabei einen Vektorpfeil haben.

Dein Gleichungssystem ist richtig. Alternativ kann man die Parameterform in die Koordinatenform wandeln. Das lohnt aber nur wenn viele Punkte zu testen sind.

N = [-1, 0, 2] ⨯ [3, 1, -3] = [-2, 3, -1] = - [2, - 3, 1]

E: X·[2, - 3, 1] = [3, -4, 1]·[2, - 3, 1]
E: 2·x - 3·y + z = 19

Hier kannst du problemlos dann Punkte einsetzen. Wenn links 19 heraus kommt liegen die Punkte in der Ebene.