Ich will nicht immer alles 4 711 Mal sagen und bei Adam und Eva beginnen. Ich seh grad; das bist ja wieder du ...
Solltest du nur die Parameterform ( PF ) der Ebene haben und suchst die Koordinatenform ( KF ) Das geht mittels einer Determinante, die ich dir hier erkläre:
https://www.mathelounge.de/530594/kreuzprodukt-was-sind-die-vorteile
Ein konkretes Anwendungsbeispiel findest du hier:
https://www.mathelounge.de/530640/koordinatengleichung-einer-ebene
So; erst mal das. Wie findest du den Abstand eines Punktes
P0 := ( x0 | y0 | z0 ) ( 3.1 )
von einer Ebene E? Wenn du die KF gegeben hast, gehst du im Prinzip über die ===> Taylorentwicklung. Die Ebene sei
E ( x , y , z ) = a x + b y + c z = k0 = const ( 3.2 )
Wir denken uns die Chose jetzt äußerst Trick reich so, dass P0 auf einer Ebene E ' liegen möge, die parallel E verläuft.
E ( P0 ) = a x0 + b y0 + c z0 = k1 ( 3.3 )
k1 kannst du berechnen, das sollte jetzt kein Problem sein. es ist ja alles bekannt. Sei nun s ein Vektor, dessen Schwanz in P0 liegt und die Pfeilspitze bis ebene E langt in ( 3.2 )
Taylor denkt sich die Sache praktisch so, dass E nicht eine Ebene ist, sondern eine Funktion ( von x , y und z ) die in P0 den Wert k1 annimmt. Wir fragen uns also: Wie lang muss der Vektor s sein, damit wir von k1 nach k0 kommen?
< grad ( E ) | s > = k1 - k0 ( 3.4 )
Dabei bedeuten die spitzen Klammern das Skalarprodukt; eine Notation, die Paule Adrien Marie Dirac eingeführt hat.
Wer Einstein war, pfeife die Buwe uff die Gass; E = m c ² ist die bekannteste Gleichung.
Auch Antimaterie kennt jeder.
Aber niemand sagt dir, dass Dirac sie am Schreibtisch ausgerechnet hat
" Wie spricht man den aus? "
Von eriner Diracschule hab ich noch nie gehört ...
Vielleicht kennst du den Gradienten ja schon von Erdkäs. Der Gradientenvektor steht immer senkrecht auf einem Höhenlinien(oderFlächen) Profil.
Die ===> Äquipotenzialflächen des irdischen Schwerefeldes sind Flächen gleicher potenzieller Energie; annähernd Kugeln.
Und der Gradient gibt immer die Richtung des steilsten Anstiegs; weist also in die Richtung der Erdanziehung.
Kannst du schon Differenzialrechnung? Der Gradient deiner parallelen Ebenenschar ( 3.2 ) ergibt sich einfach aus den Koeffizienten
grad ( E ) = ( a | b | c ) ( 3.5 )
Ich sagte dir schon; der Gradient steht senkrecht auf der Ebenenschar. Wenn jetzt s lotrecht auf E steht, also du hast keinen Winkel zwischen s und dem Gradientenvektor - dann wird der Kosinus in dem Skalarprodukt ( 3.4 ) gleich Eins.
| s | | grad ( E ) | = k1 - k0 ( 3.6a )
mit Pythagoras
| grad ( E ) | ² = a ² + b ² + c ² ( 3.6b )
Der Betrag von s in ( 3.6a ) ist der gesuchte Abstand; ein System von Gleichungen, die du sukzessive durch Einsetzen lösen kannst. Tolles Kochrezept.
Also nur nicht Kopf scheu werden; es ist alles ganz einfach.
Erheblich komplitückischer gestaltet sich schon der Abstand eines Punktes Q0 von einer Geraden g . Die Gerade sei uns gegeben in Parameterform
g ( k ) := P0 + k t0 ( 3.7 )
mit Richtungsvektor t0 . Du musst jetzt einfach die Bedingung notieren, dass du von Q0 aus senkrecht auf t 0 blickst; das gibt ja den kürzesten Abstand. Und Senkrecht stehen heißt immer: Skalarprodukt Null.
< t0 | g - Q0 > = 0 ( 3.8a )
< t0 | P0 - Q0 + k t0 > = 0 ( 3.8b )
k | t0 | ² = < Q0 - P0 | t0 > ( 3.8c )
Wenn also jetzt noch Unklarheiten sein sollten, dann melde dich unter Bezug auf diese Ausführungen.
