Vektorgeometrie Abstand Punkt und Gerade

Question

, bei dieser Aufgabe habe ich irgendwie Probleme, bitte somit um eure Hilfe

Bestimme den Abstand des Punktes P(7,-3,1) von der Gerade AB mit A(2,0,5) und B(9,-3,1)

Meine Idee:

AB ausrechnen:

AB=(7,-3,-4)

und dann stosse ich schon an. Herzlichen Dank für jegliche Hilfen.

LG Sina Lilli Lutz

Answer 1

Bestimme den Abstand des Punktes P(7,-3,1) von der Gerade AB mit A(2,0,5) und B(9,-3,1)

Das einfachste wäre hier über das Kreuzprodukt zu gehen

d = |AP x AB| / |AB|

d = |([7, -3, 1] - [2, 0, 5]) ⨯ ([9, -3, 1] - [2, 0, 5])| / |[9, -3, 1] - [2, 0, 5]| = 5/37·√74 = 1.162 LE

Je nach Lehrer oder Lehrerin wird hier aber meist viel Komplizierter gerechnet. Eventuell mit einer Hilfsebene und Fußpunkt.

Um die obige Formel zu verstehen solltest du über die geometrische Bedeutung des Kreuzproduktes bescheid wissen. In wie weit das im Unterricht bei euch gemacht worden ist weiß ich nicht. Mindestens auf erhöhtem Niveau sollte dieses angesprochen werden. Auf Grundlegendem Niveau werden solche wichtigen Dinge oft weggelassen. Weil es den Schülern ja helfen könnte das Ganze zu verstehen.

Answer 2

Die Schullösung dazu wäre:

Eine Ebene bilden mit den Vektoren AB und AP, dann den Normalenvektor von dieser Ebene bilden, da dieser Normalenvektor Senkrecht zu der Ebene ist.

Dann mit Hilfe des Normalenvektors und dem Vektor AB eine neue Ebene bilde und von dieser mit Hilfe der HNF den Abstand zum Punkt berechnen.