Lagrangefunktion. F( x1 , x2 )=10· x1 +14· x2

Question

Die Funktion

F( x1 , x2 )=10· x1 +14· x2

besitzt unter der Nebenbedingung

36· x1 2 +81· x2 2 =2916

zwei lokale Extremstellen. Bezeichne ( a1 , a2 ) jene Extremstelle, in der F den größeren Wert annimmt, und ( b1 , b2 ) jene Extremstelle, in der F den kleineren Wert annimmt. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a. Es gilt | a1 |=6.58.b. Es gilt | a2 |=6.14.c. Keine der anderen Antwortmöglichkeiten trifft zu.d. Es gilt F( b1 , b2 )=-123.11.e. Der Lagrange-Multiplikator beträgt |0.03|.

Bitte um Hilfe, scheitere immer wieder kurz vor dem Ziel....

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Titel: Lagrangefunktion: F( x1 , x2 )=10· x1 +14· x2

Stichworte: lagrange,gleichung

Die Funktion

F( x1 , x2 )=10· x1 +14· x2

besitzt unter der Nebenbedingung

36· x1 2 +81· x2 2 =2916

zwei lokale Extremstellen. Bezeichne ( a1 , a2 ) jene Extremstelle, in der F den größeren Wert annimmt, und ( b1 , b2 ) jene Extremstelle, in der F den kleineren Wert annimmt. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a. Es gilt | a1 |=6.58.b. Es gilt | a2 |=6.14.c. Keine der anderen Antwortmöglichkeiten trifft zu.d. Es gilt F( b1 , b2 )=-123.11.e. Der Lagrange-Multiplikator beträgt |0.03|.


Bitte um Hilfe... habe die Lagrangefunktion aufgestellt, nach allen drei Unbekannten abgeleitet und x1 und x2 ausgerechnet >> x1= 10/72*L      x2=14/162*L, nun wären diese in die Nebenbedingung einzusetzen, habe da aber erhebliche Probleme... und verstehe auch nicht was das da mit a1 & a2 bei den Ankreuzmöglichkeiten soll ?? .. :)

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setz doch mal nen Anfang rein.

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Also die Lagrangefunktion wäre dann meiner Meinung nach:

L(x1, x2, L) = 10x1 + 14x2 + L (36x1^2 + 81x2^2 -2916)

& die Ableitungen:

L ´ x1 = 10 + L (72x1)  = 0

L ´ x2 = 14 + L (162x2) = 0

L ´ L = 36x1^2 + 81x2^2 - 2916 = 0

dann dividiere ich die erste durch die zweite Ableitung:

10/14 = 72x1 / 162x2  auf x1 umgeformt ergiebt >> 1,607142857 x2  = x1

und wieder eingesetzt erhält man für x2 = 96,96912114 und x2 oben eingesetzt ergiebt dann für x1 = 155,8432304??

oder stimmt eher dieser Ansatz:  x1= 10/72*L  & x2=14/ 162*L ??

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also wie auch immer für das den Lagrangemultipikator bekomme ich 0,021109334 heraus, also ist die Antwortmöglichkeit D falsch? Aber die anderen Auswahlmöglichkeiten, wie berechnt man die? :)

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10/14 = 72x1 / 162x2  auf x1 umgeformt ergiebt >> 1,607142857 x2  = x1

und wieder eingesetzt erhält man für x2 = 96,96912114 und x2 oben eingesetzt ergiebt dann für x1 = 155,8432304??

ist doch alles top.

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oke und dann setz ich das hier ein: 36x1 ^2 + 81x2 ^2 = 2916 oder?
auf jeden fall komm ich auf den Lagrangemultiplikator L= 0,021109334 > also ist Antwort D falsch, aber wie gehn die anderen auszurechnen? welche Antwortmöglichkeiten sind richtig??

Answer 1

f(x, y) = 10·x + 14·y optimieren unter der Nebenbedingung 36·x^2 + 81·y^2 = 2916

Lagrange-Funktion

L = 10·x + 14·y - k·(36·x^2 + 81·y^2 - 2916)

Partielle Ableitungen

Lx = 10 - 72·k·x = 0

x = 5/(36·k)

Ly = 14 - 162·k·y = 0

y = 7/(81·k)

Wir setzen beides in die Nebenbedingung ein

36·(5/(36·k))^2 + 81·(7/(81·k))^2 = 2916

k = ± √421/972 = ± 0.02110934622

Wir berechnen die möglichen Extrema

x1 = 5/(36·(- √421/972)) = - 135·√421/421 = - 6.579497414

y1 = 7/(81·(- √421/972)) = - 84·√421/421 = - 4.093909502

f(- √421/972, - √421/972) = - 2·√421/81 = - 0.5066243093

x2 = 5/(36·(√421/972)) = 135·√421/421 = 6.579497414

y2 = 7/(81·(√421/972)) = 84·√421/421 = 4.093909502

f(√421/972, √421/972) = 2·√421/81 = 0.5066243093

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also wäre dann die Antwortmöglichkeit  A & D richtig?

Vielen Dank :)