Lagrangefunktion: L( x1 , x2 ,λ)=45· x1 +1· x2 +λ·(49· x1 2 +16· x2 2 -784)

Question

Die zugehörige Lagrangefunktion ist

L( x1 , x2 ,λ)=45· x1 +1· x2 +λ·(49· x1 2 +16· x2 2 -784).

Somit erhalten wir die Bedingungen 1. Ordnung

45+λ·(2·49· x1 ) = 0, 1+λ·(2·16· x2 ) = 0, 49· x1 2 +16· x2 2 -784 = 0.

Aus den ersten beiden Gleichungen berechnen wir zunächst

x1 = - 45 2·49·λ , x2 = - 1 2·16·λ ,

durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die dritte Gleichung folgt dann

2025 4·49· λ2 + 1 4·16· λ2 =784,

 ich versteh den letzten Schritt vom einsetzen nicht, könnte mir jemand in Schritten langsam erklären wie ich auf diese Zahlen komme? dankeschön :)

Answer 1

x1 = - 45 2·49·λ , x2 = - 1 2·16·λ ,  Das war noch klar ?

hieß aber wohl

x1 = - 45  / ( 2·49·λ) , x2 = - 1 /  (2  *16·λ )

also

x1 = - 45  / ( 98·λ) , x2 = - 1  /   (32·λ )

und jetzt einsetzen in die 3. Gleichung

49· (x1) ² +16· x2 ² -784 = 0.

gibt ja

49 * (  - 45  / ( 98·λ))^2 + 16 * ( - 1  /   (32·λ ))^2 - 784 = 0

2025/ (196λ^2 ) + 1 / (64λ^2 )  = 784

und dann mal   λ^2   gibt

2025/ 196 + 1 / 64 = 784 * λ^2

32449/3136 = 784 * λ^2

32449/2458624 = λ^2

und dann die Wurzel gibt ungefähr

λ = ± 0,1149

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, aber wo verschwindet das 45* & das 16* in der Gleichung hin,
wenn einfach nur der erste Term des Klammer hoch zwei und der zweite Teil *2 gerechnet wird?
Sry ich kann dir leider nicht ganz folgen... und wie komm ich von 2025/196 auf 32449 & von 1/64 auf 3136? :)

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rechne doch einfach mal schrittchenweise nach: z.B.

49 * (  - 45  / ( 98·λ))²

= 49 * 2025 / ( 9604λ² )

= 99225 / ( 9604λ² ) und dann kürzen mit 49

= 2025 /  ( 196λ² )    etc.

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Besten Dank, jetzt hab ich das auch verstanden, super!
Nur noch eine Kleinigkeit weiter unten.. von 2025/196  auf 32449  und von 1/64 auf 3136? Wie gehen da die Rechenschritte? :)

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zum Addieren Brüche auf den gleichen Nenner bringen:

2025/ 196 + 1 / 64

= 2025 * 64 / 196*64 + 1*196 / 64*196

= 129600/12544 + 196 / 12544

=129796/12544           mit 4 kürzen

=32449/3136