Lagrange funktion aufstellen bzw gleichsetzen um zu berechnen

Question

bei folgendem bsp muss ich eine lagrange funktion aufstellen wobei ich einige schwierigkeiten habe, bzw. wenn ich diese dann nach L und K freistellen sollte...

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf
F(K,L)=K*L³ .

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =11 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =24. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 620 ME produziert werden soll.
Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum?

Mein Ansatz:

L=11k+24L-λ*(K*L³-620)

1. K: 11-λ*3KL² = 0

2. L: 24-λ*3KL² = 0

3. λ: -KL³+620 = 0

ich weiß nicht ob das stimmt, aber nun müsste ich nach K, L und λauflösen/freistellen damit ich weiterrechnen kann, was mir aber große schwierigkeiten bereitet. bin um jede hilfe dankbar!

Answer 1

1. K: 11-λ*L³  = 0  war  falsch ! 

2. L: 24-λ*3KL² = 0

3. λ: -KL³+620 = 0  ==>  K = 620/L³

in  2. einsetzen gibt

1  11-λ*L³  = 0   und     2a)   24  -  λ*1860 / L = 0

11-λ*L³  = 0   und       24  =  λ*1860 / L

11-λ*L³  = 0   und       24 / 1860 * L  =  λ

11-λ*L³  = 0   und       2 / 155 * L  =  λ  einsetzen:

11- 2 / 155 * L  *L³  = 0

11-  2 / 155 *L⁴  = 0

11    =  2 / 155 *L⁴

852,5 = L⁴

5,40 = L

und mit   2 / 155 * L  =  λ   also λ = 0,0697

und also mit  K = 620/L³ dann K = 3,93

       

Comments

vielen dank!! :-)

eine frage hätte ich noch, ist die aufgabenstellung mit "Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum?" somit durch K=3,93 gelöst oder muss ich diesen wert noch in eine andere funktion einsetzen?

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Das ist durch K=3,93 gelöst.

Answer 2

Du bräuchtest es gar nicht mit Lagrange machen, zumindest nicht wenn nicht eventuell nach dem Lagrange-Faktor gefragt wird.

Nebenbedingung

k·l³ = 620 --> k = 620/l³

Hauptbedingung

C = 11·k + 24·l

C = 11·(620/l³) + 24·l

C = 24·l + 6820/l³

C' = 24 - 20460/l⁴ = 0 --> l = 13640^1/4/2 = 5.403480604

Das geht hier einfacher als über Lagrange meinst du nicht auch?

Comments

vielen dank! :-)

ja wäre einfacher, aber laut unserm "lösungsansatz" sollen wir es mit der lagerange funktion rechnen.