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\( \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2} \)

Hallo miteinander,

ich muss die Variablen A, B und C mithilfe der Abdeckregel/ Zuahltemethode bestimmen. Ich weiß aber nicht, wie dieses Verfahren geht und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

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Ich plädiere dafür, die beiden Begriffe "Zuhaltemethode" und "Abdeckregel" sofort abzuschaffen!

Bild Mathematik

Hier ist der komplette Term, ich muss wissen was die Zuhaltemethode ist bzw. wie sie funktioniert, daher will ich sie auch hier anwenden.

Wenn Du den TeX-Code mitteilen würdest, wäre das Antworten einfacher!

5 Antworten

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Sorry fürs Nekroposting, aber ich hatte dieselbe Frage und fand die Antworten wenig hilfreich. Das Zuhalteverfahren oder Abdeckverfahren liefert meistens schneller das Ergebnis, da man nicht viel ausmultiplizieren und ausklammern muss.

Durch Multiplizieren mit dem Nenner und Kürzen erhält man:

\( \frac{x+2}{(x+1)(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2} \quad\big |\cdot (x+1)(x-1)(x-2) \)

\( x+2=A(x-1)(x-2) + B(x+1)(x-2) + C(x+1)(x-1) \)

Nun wird für x jede Nullstelle eingesetzt. Damit werden alle bis auf ein Term 0 und entfallen:

wähle \( x=-1:\quad -1+2 = A\cdot (-2)\cdot (-3) \quad\Rightarrow\quad 1=6A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{6} \)

wähle \( x=1:\quad 3=-2B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{3}{2} \)

wähle \( x=2:\quad 4=3C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{4}{3} \)

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Wen willst du denn zerlegen ?

Ohne den Term kann man es schlecht erlätern.

Du musst jedenfalls die drei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

und dann einen Koeffizientenvergleich mit dem darzustellenden Term

machen. Deine beiden Methoden sollen wohl was ähnliches sagen.

Avatar von 289 k 🚀
Nicht "Wen", sondern "Was" will er zerlegen!

Manche Terme haben durchaus sowas wie eine Persönlichkeit.

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HURRAAAAH !!!!  Endlich mal eine vernünftige Einsicht. Das Verfahren ist urkundlich von ===> Rothstein-Trager angegeben; die Arbeit steht online ( Vermutlich wirst du eben so wenig damit anfangen können wie ich. )
   Ich verstehe nur das Zuhälterkapitel, weil ich das Verfahren unabhäng ( allerdings mit zehnjähriger Verspätung und noch dazu wesentlich mehr als Rothstein-Trager ) entwickelt habe.
    Ihr könnt doch Deutsch; ihr sagt immer " Hochpunkt " statt Maximum. Ich sage nicht Partial-sondern Teilbruchzerlegung ( TZ )

Der Grundgedanke beruht auf der komplexen ===> Residuenintegration der ===> Funktionenteorie ( FT )  D.h du müsstest dir die ganze FT komplott rein ziehen ( Knoppbändchen,  Mc. Laughlin bei Wiley oder Eli Cartan - die Auswahl ist riesig; auch Wiki bietet Vieles, ich selbst fand da schon Einiges. Ansonsten frag halt nochmal. )

Jetzt ist eine Integrabilitätsbedingung ganz entscheidend, der ===> Cauchysche Integralsatz ( CIS ) Kennst du ja von konservativen Vektorfeldern. Schau dir bitte auch die ===> Cauchysche Integralformel ( CIF ) an, deren Bedeutung in den Standardtexten sträflich unterschätzt wird.

Sei w = w ( z ) eine auf dem Gebiet G ( z.B. Innengebiet  eines Kreises )  ===> analytische ( holomorphe ) Funktion. Die Funktion w will ich als Integralkern bezeichnen. Jetzt bilden wir die Funktion


F  (  z  ;  z0  )  :=  (  1 / 2 Pi i )  w  (  z  )  /  (  z  -  z0  )      (  1  )


F besitzt einen einfachen Pol in z0 ; als Residuum von F ( genauer: Residuum in z0 ) ist das Integral definiert


Res  F  |  z0  =  $  F  (  z  )  dz  =  w  (  z0  )      (  2  )


Integriert wird wie üblich über die Berandung des Kreises von 0 bis 2 Pi . Die genaue Definition dieses Integrals findest du wie gesagt in allen Textbüchern.

Natürlich verschwindet dieses Residuum, so bald sich die Singularität z0 außerhalb des Kreises befindet - auf Grund des CIS .
Und die gängigen Texte scheinen alle keinen Vorteil aus der Kenntnis dieses Residuums zu ziehen;  die Cauchysche Integralformel hast du in ( 2 )  In worten besagt sie

" Das Residuum ist gleich dem Wert des Integralkerns an der Polstelle. "

Und Witzbolde bezeichnen diese doch recht Grund legende Aussage auf einmal als " Zuhälterverfahren "  Auf diese Weise sind ja auch das schwarze Loch und das Bottom Quark zu ihren Namen gekommen, die eben Falls eine pornografische Konnotation haben. An sich würde ich das Einsetzen einer Variablen in eine Funktion weder als Zuhälter-noch als Zuhaltetechnik bezeichnen; das ist völlig unüblich. Gemeint ist in ( 2 ) : Du setzt den Wert z0 in den Integranden ( 1 ) ein, hältst aber gleichzeitig in ( 1 ) mit der Hand alles " zu, was singulär bzw. Sinn los " wird ( In den von mir entwickelten Verallgemeinerungen des Zuhälterverfahrens, die den Weg in die Literatur bis Dato noch nicht gefunden haben, kommst du übrigens mit Zuhalten auf keinen grünen Zweig mehr. )

Spielen wir das doch mal mit deinem Ansatz durch.


(  x  +  2  )  /  (  x  +  1  )  (  x  -  1  )  (  x  -  2  )  =    (  3a  )

=  A  /  (  x  +  1  )  +  B  /  (  x  -  1  )  +  C  /  (  x  -  2  )    (  3b  )


Diesen Ansatz werden wir separieren, quasi ortogonalisieren. Mit dieser Gleichung darf ich doch alles machen voraus gesetzt, dass ich links und rechts, also in ( 3a ) und ( 3b ) , das Selbe mache, z.B. auch integrieren. Integriert wird dabei um einen Kreis, dessen Mittelpunkt sei z2 = 1 ;  ich muss halt nur Acht passen, dass ich den Radius R = € < 1  hallte, um sämtliche anderen Pole aus dem Kreis auszusperren.

Ja was haben wir dann in ( 3b ) ? Die Terme A und C leisten keinen Beitrag, weil nach dem CIS ( für ganz vornehme Leute: ===> Residuensatz ) diese Pole ja außerhalb liegen.

Integralkern des B-Terms ist offenbar die ( konstante ) Funktion B ; das LGS wurde Erfolg reich separiert. Wir berechnen jetzt offenbar den Koeffizienten B .

Für den Integralkern führe ich den Buchstaben G ein; Integralkern der gebrochenen Funktion ( 3a ) ist offenbar


G  (  x  ;  1  )   =  (  x  +  2  )  /  (  x  +  1  )  (  x  -  2  )     (  4a  )


Die Variable hinter dem Semikolon vertritt die Polstelle; wir haben drei Polstellen, mithin auch drei Kerne. Wenn du so willst, entstand ( 4a ) durch " Zuhalten " Aus der CIF ergibt sich somit die Zuhälterformel


B  =  G  (  1  ;  1  )  =  (  1  +  2  )  /  (  1  +  1  )  (  1  -  2  )  =  (  -  3/2  )    (  4b  )


Seit etwa 2008 propagiere ich im Netz diesen Algoritmus, was wohl bisher daran scheiterte, dass Schüler Angst vor ihren Lehrern hatten, die das Zuhälterverfahren ja nicht kannten.

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Hi, Godzilla!

Sehr amüsant zu lesen, aber leider fehlt der Diskurs bezüglich der Verknüpfung von Nekrophilie mit Sodomie im Falle der Abdeckermethode. Ich bin ganz gespannt auf eine entsprechende Ergänzung Deiner Abhandlung..

LG, pleindespoir

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Hi, wenn du folgendes gegeben hast

$$ \frac{x+2}{(x+1)(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} \ ,$$

multiplizierst du die Gleichung mit dem ursprünglichen Nenner, also mit dem des Bruches auf der linken Seite:

$$x+2 = A (x-1)(x-2)+B(x+1)(x-2)+C(x+1)(x-1) \ .$$

Wie du bestimmt erkennst, habe ich bereits die entsprechenden Klammerterme mit den Nennern auf der rechten Seite gekürzt. Jetzt multiplizieren wir die Klammern aus:

$$x+2 = A(x^2-3x+2)+B(x^2-x-2)+C(x^2-1) \ . $$

So, jetzt kommt der sogenannte Koeffizientenvergleich. Wir fangen mit dem höchsten Grad von x, in dem Fall 2, an. Da wir auf der linken Seite keine x2 haben, erhalten wir an dieser Stelle 0. Auf der rechten Seite erkennt man durch Hinsehen, dass wir Ax2+Bx2+Cx2 erhalten. Insgesamt bekommen wir also die Gleichung

$$0x^2 = Ax^2+Bx^2+Cx^2 \ . $$

Da x2 in jedem Summanden auf jeder Seite vorkommt, kann man ihn auch weglassen und wir bekommen somit

$$0 = A+B+C \ . $$

Als nächstes machen wir den Koeffizientenvergleich für x (ein Grad tiefer). Diesmal schneller erhalten wir:

$$1 = -3A - B \ . $$

Und schließlich zuletzt nochmal ein Grad tiefer, also für die normalen Zahlen:

$$2 = 2A -2B-C \ .$$

Die letzten drei Gleichungen bilden ein Gleichungsystem, das wir lösen können:

$$A= \frac{1}{6} \ , \quad B = - \frac{3}{2} \ , \quad C = \frac{4}{3} \ . $$

Avatar von 1,6 k
Du hast gar nicht verstanden, worum es geht. Dass diese Matrixungetüme endlich aussterben.
  Wir fahren ja auch längst mit dem Auto und nicht mehr mit dem Fährt.

Warum nennt man das Fährt Fährt?

Weil es fährt!

Ich verstehe nicht so ganz was Gast jf911 mir sagen möchte. Falls etwas falsch ist, bitte konkret benennen. :P

Es war nach der "Zuhaltemethode" gefragt, welche Du nicht verwendet hast ;).

Ah okay. Kannte die Methode nicht, habe es gegooglet und es so verstanden, dass das damit gemeint ist. Dann war ich wohl etwas zu voreilig. Ignoriert meine Antwort. :P

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Abend,


vllt hilft Dir auch dieser Artikel weiter?

https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung

Da habe ich das einst mal versucht niederzulegen ;).

Gibt's einige Methoden im Überblick.



Falls Du noch fragen hast, melde Dich. Sonst probier Dich mal dran.

Die Lösung kannst Du dann mit der von Yukawah vergleichen.


Grüße

Avatar von 141 k 🚀

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