wie bestimme ich hier Lambda?

Question

Hi,

kann mir jemand diese Frage beantworten:

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( V=\mathbb{R}^{3} \) und \( \lambda \in \mathbb{R} . \) Bestimmen Sie alle \( \lambda \in \mathbb{R}, \) für die die folgende Liste aus \( V \) linear unabhängig ist:
\( v_{1}=(1,1,0), v_{2}=(1,0, \lambda), v_{3}=(\lambda, 2,-1) \)

Ich finde leider gar keine Anhaltspunkt, es wäre also perfekt wenn jemand es etwas ausführlicher beantworten könnte.

Dankeschön

Answer 1

die folgende Liste aus \( V \) linear unabhängig ist

In der Definition von Linearer Unabhängigkeit steht, dass das der Fall ist, wenn die Gleichung

          \(av_1 + bv_2+ cv_3 = 0\)

eindeutig lösbar ist. Bestimme also, für welches \(\lambda\) die Gleichung

  \(av_1 + bv_2+ cv_3 = 0\)

eindeutig lösbar ist.

Ich finde leider gar keine Anhaltspunkt

Die Definition ist der Anhaltspunkt.

Answer 2

Schreibe die drei Vektoren als Zeilen

oder Spalten einer Matrix und berechne die Determinate.

Das gibt λ^2 - 2λ +1 . Und das ist nur gleich 0

für    λ=1 . In dem Fall sind die

Vektoren lin. abh. Für alle anderen Werte von λ

also lin. unabh.

Falls du keine Determinate benutzen

darfst, forme die Matrix mittels

Gauss um und zeige:

Nur für   λ=1 ist Rang = 2 sonst immer 3.

Comments

danke für die Antwort, leider dürfen wir die det. nicht benutzen. Könne Sie mir ihren zweiten Vorschlag etwas genauer beschreiben? Das wäre wirklich sehr Hilfreich!

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Mit x statt Lambda ist es so:

Der Ansatz von oswald ergibt für a,b,c das

homogene lin. Gleichungssystem mit der Matrix

1   1    x
1    0   2
0    x  -1

2. Zeile minus erste gibt

1   1    x
0   -1   2-x
0    x -1 

Jetzt muss ja das x in der 3. Zeile weg, also

3. Zeile +  x*2.Zeile (geht aber nur für x≠0
der Fall muss also später extra untersucht werden.)

1  1         x
0  -1      2-x
0    0 -x^2 +2x -1 

bzw. ( binomi. Formel)

1  1        x
0  -1      2-x
0    0 -(x-1)^2

Also ist für x≠1 jedenfalls rang=3.

Das homogene Gl.syst. also

eindeutig lösbar mit a=b=c=0.

Fehlte noch der Fall x=0 .

Da hat man in der 2. Matrix

1  1    0
0  -1  2
0    0 -1

also auch rang=3.