Anhand eines Beispiels begründen, dass linear unabhängig ist

Question

Begründen Sie anhand eines Beispiels, dass folgende Aussage nicht wahr ist: Seien \( V, W \) jeweils \( \mathbb{F} \) -Vektorräume und \( f \in \mathcal{L}(V, W) \) surjektiv. Sind \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) linear unabhängig, dann auch \( f\left(v_{1}\right), \ldots, f\left(v_{n}\right) \in W \).

Kann mir jemand ein Beispiel nennen? Mir fällt leider irgendwie überhaupt keins Beispiel ein...

Answer 1

\(\dim V > 0\) und \(f(v) = 0\) für alle \(v\in V\).

Comments

danke für die schnelle Antwort :)

Können Sie ihre Antwort evtl noch etwas begründen? Warum muss dim V > 0 sein?

---

Sind \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) linear unabhängig

Das geht nicht, wenn \(dim V = 0\) ist, weil dann \(V = \{0\}\) ist.

dann auch \( f\left(v_{1}\right), \ldots, f\left(v_{n}\right) \in W \)

ex falso quodlibet

---

dankeschön :)

wir sollen jetzt noch ergänzen, dass die Aussage aus wahr wird, wenn man zusätzlich dim V = dim W fordert. Haben Sie dazu auch einen Lösungsvorschlag?