Welchen Betrag müssen Sie monatlich sparen, wenn Sie in Phase II monatliche Zahlungen in Höhe von 1.500 Euro …

Question

Aufgabe:

Stellen Sie sich vor: Sie sind 30 Jahre alt und wollen noch 60 Jahre leben. Die Restlebenszeit soll sich wie
folgt aufteilen: Die ersten 40 Jahre bilden die Erwerbsphase (Phase I). Die 20 Jahre danach bilden die Rentenphase (Phase II). Fur Phase II muss privat vorgesorgt werden. Sie sparen also aus Ihrem Gehalt jeweils am Ende eines jeden Monats fur Phase II. Innerhalb von Phase II beziehen Sie die monatlichen Zahlungen jeweils zu Beginn eines jeden Monats.

Die weiteren Eckdaten lauten wie folgt:

Sie können diesen Vorgang uber eine staatliche Institution abwickeln. Es fallen dabei keine Gebühren an. Sie leben ferner in einer Welt mit Preisstabilität: Die Inflationsrate betragt also Null Prozent. Der Staat bietet Ihnen eine Verzinsung von 0,6 Prozent pro Jahr für den gesamten Planungszeitraum. Die Zinsperiode ist das Kalenderjahr.

Fragestellung:

Welchen Betrag müssen Sie monatlich in Phase I sparen, wenn Sie in Phase II monatliche Zahlungen in Höhe von 1.500 Euro beziehen wollen?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Fragestellung: Welchen Betrag müssen Sie monatlich in Phase I sparen, wenn Sie in Phase II monatliche Zahlungen in Höhe von 1.500 Euro beziehen wollen?

Um diese Fragestellung zu beantworten, müssen wir die Ersparnisse so berechnen, dass sie nach 40 Jahren (Phase I) ausreichen, um während der 20 Jahre (Phase II) monatlich 1.500 Euro zu beziehen.

Hier sind die detaillierten Berechnungsschritte:

Schritt 1: Bestimmung des benötigten Kapitals zu Beginn der Rentenphase (Phase II)

Zunächst berechnen wir das gesamte Kapital, das benötigt wird, um in Phase II für 20 Jahre monatliche Zahlungen von 1.500 Euro zu erhalten.

Die monatliche Zahlung beträgt 1.500 Euro, und die Verzinsung beträgt jährlich 0,6 %. Diese Konditionen entsprechen einer Anleihe mit einer konstanten Entnahme und einem fixen Zinssatz. Wir benutzen die Rentenbarwertformel:

\( P = R \times \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \)

Hier sind die Variablen:
- \( R = 1.500 \) Euro (monate Zahlung)
- \( r = \frac{0,6 \%}{12} = \frac{0,006}{12} = 0,0005 \) (monatlicher Zinssatz)
- \( n = 20 \times 12 = 240 \) (Anzahl der Monate)

Einsetzen:

\( P = 1.500 \times \frac{1 - (1 + 0,0005)^{-240}}{0,0005} \)

Zunächst berechnen wir \( (1 + 0,0005)^{-240} \):

\( (1 + 0,0005)^{-240} = \frac{1}{(1 + 0,0005)^{240}} \)

\( (1,0005)^{240} \approx 1,122 \)

Somit:

\( (1 + 0,0005)^{-240} \approx \frac{1}{1,122} \approx 0,891 \)

Nun setzen wir alles wieder in die Rentenbarwertformel ein:

\( P = 1.500 \times \frac{1 - 0,891}{0,0005} \)

\( P = 1.500 \times \frac{0,109}{0,0005} \)

\( P = 1.500 \times 218 \)

\( P = 327.000 \) Euro

Schritt 2: Berechnung des monatlich zu sparenden Betrags in Phase I

Nun wissen wir, dass wir zu Beginn von Phase II einen Betrag von 327.000 Euro benötigen. Wir müssen diesen Betrag in 40 Jahren (480 Monate) ansparen. Wir nutzen hier die Formel für den zukünftigen Wert einer Reihe gleichmäßiger Zahlungen (Sparrate):

\( FV = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \)

Hier sind die Variablen:
- \( FV = 327.000 \) Euro (zukünftiger Wert)
- \( r = \frac{0,6 \%}{12} = \frac{0,006}{12} = 0,0005 \) (monatlicher Zinssatz)
- \( n = 40 \times 12 = 480 \) (Anzahl der Monate)
- \( PMT \) ist der zu findende monatliche Sparbetrag.

Umgeformt nach \( PMT \):

\( PMT = \frac{FV \times r}{(1 + r)^n - 1} \)

Einsetzen:

\( PMT = \frac{327.000 \times 0,0005}{(1 + 0,0005)^{480} - 1} \)

Berechnen von \( (1 + 0,0005)^{480} \):

\( (1,0005)^{480} \approx 1,252 \)

Somit:

\( PMT = \frac{327.000 \times 0,0005}{1,252 - 1} \)

\( PMT = \frac{163,5}{0,252} \)

\( PMT \approx 648,81 \) Euro

Ergebnis:

Der monatlich zu sparende Betrag in Phase I beträgt ca. 648,81 Euro, um in Phase II monatliche Zahlungen in Höhe von 1.500 Euro zu erhalten.