Antwort mit KI erzeugt
Fragestellung: Welchen Betrag müssen Sie monatlich in Phase I sparen, wenn Sie in Phase II monatliche Zahlungen in Höhe von 1.500 Euro beziehen wollen?
Um diese Fragestellung zu beantworten, müssen wir die Ersparnisse so berechnen, dass sie nach 40 Jahren (Phase I) ausreichen, um während der 20 Jahre (Phase II) monatlich 1.500 Euro zu beziehen.
Hier sind die detaillierten Berechnungsschritte:
Schritt 1: Bestimmung des benötigten Kapitals zu Beginn der Rentenphase (Phase II)
Zunächst berechnen wir das gesamte Kapital, das benötigt wird, um in Phase II für 20 Jahre monatliche Zahlungen von 1.500 Euro zu erhalten.
Die monatliche Zahlung beträgt 1.500 Euro, und die Verzinsung beträgt jährlich 0,6 %. Diese Konditionen entsprechen einer Anleihe mit einer konstanten Entnahme und einem fixen Zinssatz. Wir benutzen die Rentenbarwertformel:
\( P = R \times \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \)
Hier sind die Variablen:
- \( R = 1.500 \) Euro (monate Zahlung)
- \( r = \frac{0,6 \%}{12} = \frac{0,006}{12} = 0,0005 \) (monatlicher Zinssatz)
- \( n = 20 \times 12 = 240 \) (Anzahl der Monate)
Einsetzen:
\( P = 1.500 \times \frac{1 - (1 + 0,0005)^{-240}}{0,0005} \)
Zunächst berechnen wir \( (1 + 0,0005)^{-240} \):
\( (1 + 0,0005)^{-240} = \frac{1}{(1 + 0,0005)^{240}} \)
\( (1,0005)^{240} \approx 1,122 \)
Somit:
\( (1 + 0,0005)^{-240} \approx \frac{1}{1,122} \approx 0,891 \)
Nun setzen wir alles wieder in die Rentenbarwertformel ein:
\( P = 1.500 \times \frac{1 - 0,891}{0,0005} \)
\( P = 1.500 \times \frac{0,109}{0,0005} \)
\( P = 1.500 \times 218 \)
\( P = 327.000 \) Euro
Schritt 2: Berechnung des monatlich zu sparenden Betrags in Phase I
Nun wissen wir, dass wir zu Beginn von Phase II einen Betrag von 327.000 Euro benötigen. Wir müssen diesen Betrag in 40 Jahren (480 Monate) ansparen. Wir nutzen hier die Formel für den zukünftigen Wert einer Reihe gleichmäßiger Zahlungen (Sparrate):
\( FV = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \)
Hier sind die Variablen:
- \( FV = 327.000 \) Euro (zukünftiger Wert)
- \( r = \frac{0,6 \%}{12} = \frac{0,006}{12} = 0,0005 \) (monatlicher Zinssatz)
- \( n = 40 \times 12 = 480 \) (Anzahl der Monate)
- \( PMT \) ist der zu findende monatliche Sparbetrag.
Umgeformt nach \( PMT \):
\( PMT = \frac{FV \times r}{(1 + r)^n - 1} \)
Einsetzen:
\( PMT = \frac{327.000 \times 0,0005}{(1 + 0,0005)^{480} - 1} \)
Berechnen von \( (1 + 0,0005)^{480} \):
\( (1,0005)^{480} \approx 1,252 \)
Somit:
\( PMT = \frac{327.000 \times 0,0005}{1,252 - 1} \)
\( PMT = \frac{163,5}{0,252} \)
\( PMT \approx 648,81 \) Euro
Ergebnis:
Der monatlich zu sparende Betrag in Phase I beträgt ca. 648,81 Euro, um in Phase II monatliche Zahlungen in Höhe von 1.500 Euro zu erhalten.