Mathe LGS Anwendungsaufgaben

Question

Aufgabe:

Hans hat in seinem Sparschwein 102 Münzen. Es sind nur 1 ct-, 2 ct-, 5 ct-, und 10 ct-Münzen. Die Anzahl der 2 ct-Münzen ist genauso groß wie die Anzahl der restlichen Münzen. Von den 10 ct-Münzen hat Hans eine mehr als von den 1ct-Münzen. Der Wert aller Münzen beträgt 3,82 €. Wie viele 5 ct-Münzen besitzt Hans?

Könntet ihr mir helfen? Vielen Dank schonmal.

Answer 1

102 Münzen. Es sind nur 1 ct-, 2 ct-, 5 ct-, und 10 ct-Münzen. Die Anzahl der 2 ct-Münzen ist genauso groß wie die Anzahl der restlichen Münzen.

Also sind es 102/2=51 Münzen mit dem Wert 2ct. Das ergibt schon mal 1,02€.

Der Wert aller Münzen beträgt 3,82 €.

Für die anderen 51 Münzen bleibt ein Wert von 2,80€=280ct.

Die Anzahl der 1ct-Münzen sei e.

Von den 10 ct-Münzen hat Hans eine mehr als von den 1ct-Münzen.

Dann sind es e+1 Münzen mit 10ct.

Gesucht ist die Anzahl f der 5ct-Münzen.

Anzahl:

e+(e+1)+f=51 → 2e+f=50 → 10e+5f=250 (1)

Wert:

e*1ct+(e+1)*10ct+f*5ct=280ct

11e+5f=270 (2)

(2)-(1) → e=20

Einsetzen in (1) oder (2) ergibt f=10.

Ergebnis:

20*1 ct +51*2ct+10*5ct+21*10ct=382ct.

20+51+10+21=102 Münzen

:-)

Comments

Vielen lieben Dank! :)

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Gerne.

Ich hoffe, du verstehst es.

:-)

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Ja, ich habe es jetzt verstanden. :)

Answer 2

e=Anzahl der Ein-Cent-Münzen

t=Anzahl der Zwei-Cent-Münzen

f=Anzahl der Fünf-Cent-Münzen

z=Anzahl der Zehn-Cent-Münzen.

e+t+f+z=102

t=e+f+z

f=e+1

e+2t+5f+10z=382

Löse dies System.

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Ich verstehe nur nicht, wie man das jetzt weiter berechnen soll...

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(1)e+t+f+z=102

(2) t=e+f+z (2a) e-t+f+z=0

(3) f=e+1

(4) e+2t+5f+10z=382

(1)-(2a) 2t=102 oder (5) t=51

(3) und (5) in (4) e+102+5(e+1)+10z=382 oder (6) 6e +10z=275

(3) und (5) in (1) e+51+e+1+z=102oder            (7) 2e+ z = 50.

(6) und (7) sind ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, das du lösen kannst. Aber das ergibt keine ganzzahlige Lösung, Irgendwo ist ein unentdeckter Fehler.

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Von den 10 ct-Münzen hat Hans eine mehr als von den 1ct-Münzen.

z=e+1 statt (3) f=e+1

:-)

Answer 3

Aloha :)

1) Insgesamt gibt es \(102\) Münzen: \(z_1+z_2+z_5+z_{10}=102\).

2) Die Anzahl der 2ct-Münzen ist so groß wie die Anzahl aller anderen Münzen: \(z_2=51\).

3) Von den 10ct-Münzen hat Hans 1 mehr als von den 1ct-Münzen: \(z_{10}=z_1+1\).

4) Der Wert aller Münzen beträgt 3,82€: \(z_1+2z_2+5z_5+10z_{10}=382\).

Zum Lösen dieses Gleichungssystems schreiben wir die dritte Gleichung um zu \(-z_1+z_{10}=1\) und tragen dann alle Gleichungen in eine Tabelle ein:

$$\begin{array}{rrrr|r|l}z_1 & z_2 & z_5 & z_{10} & = & \text{Aktion}\\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 102 &\\0 & 1 & 0 & 0 & 51 &\\-1 & 0 & 0 & 1 & 1 &+\text{Zeile 1} \\1 & 2 & 5 & 10 & 382 &-\text{Zeile 1} \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 102 &-\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 0 & 0 & 51 &\\0 & 1 & 1 & 2 & 103 &-\text{Zeile 2} \\0 & 1 & 4 & 9 & 280 &-\text{Zeile 2}\\\hline 1 & 0 & 1 & 1 & 51 &-\text{Zeile 3} \\0 & 1 & 0 & 0 & 51 &\\0 & 0 & 1 & 2 & 52 & \\0 & 0 & 4 & 9 & 229 &-4\cdot\text{Zeile 3}\\\hline 1 & 0 & 0 & -1 & -1 &+\text{Zeile 4} \\0 & 1 & 0 & 0 & 51 &\\0 & 0 & 1 & 2 & 52 &-2\cdot\text{Zeile 4} \\0 & 0 & 0 & 1 & 21 &\\\hline 1 & 0 & 0 & 0 & 20 &\Rightarrow z_1=20\\0 & 1 & 0 & 0 & 51 &\Rightarrow z_2=51\\0 & 0 & 1 & 0 & 10 &\Rightarrow z_5=10\\0 & 0 & 0 & 1 & 21 & \Rightarrow z_{10}=21\\\hline\hline\end{array}$$

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Dankeschön! :)