Was heißen diese Bedingungen (Gram Schmidt)?

Question

Aufgabe:

(c) Wir betrachten nun die Basis \( \left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)=\left(\left(\begin{array}{c}3 \\ 12 \\ 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-4 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)\right) \). Bestimmen
Sie mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren eine ON-Basis \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) des \( \mathbb{R}^{3} \) derart, dass \( \operatorname{lin}\left(v_{1}\right)=\operatorname{lin}\left(u_{1}\right) \) und \( \operatorname{lin}\left(v_{1}, v_{2}\right)=\operatorname{lin}\left(u_{1}, u_{2}\right) \) gilt.

Ich kenne das Gram Schmidt verfahren und habe es angewendet:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=gram+schmidt+%7B%7B3%2C12%2C4%7D%2C%7B-4%2C0%2C3%7D%2C%7B4%2C-1%2C0%7D%7D

Was heißt aber \( \operatorname{lin}\left(v_{1}\right)=\operatorname{lin}\left(u_{1}\right) \) und \( \operatorname{lin}\left(v_{1}, v_{2}\right)=\operatorname{lin}\left(u_{1}, u_{2}\right) \)

Kann mir jemand diese Bedingung erläutern?

Answer 1

Hallo, diese Bedingungen sind automatisch erfüllt. Das folgt eben aus dem Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt. Du hast hier eine Basis \((u_1,u_2,u_3)\) gegeben. Nun wählst du für das Gram-Schmidt Verfahren \(u_1\) als Startvektor und bekommst trivialerweise schon den ersten Vektor \(v_1\) nach Gram-Schmidt geschenkt, sodass \(u_1\) und \(v_1\) denselben Untervektorraum erzeugen. Dann machst du mit \(u_2\) weiter und erhältst eben wieder mit Gram-Schmidt einen neuen Vektor \(v_2\) als Linearkombination, der nun senktrecht auf \(v_1\) steht. Beide spannen daher denselben Untervektorraum auf wie deine u-Vektoren. Das Spiel geht nun induktiv immer so weiter.