Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Question

ich hab hier eine Matheaufgabe bei der ich nicht weiß, wie ich rangehen soll.

1. Gegeben sind eine Basis {u,v,w} (konnte den Vektorpfeil über den Zahlen nicht einfügen) des reellen Vektorraumes R³ und die Vektoren a= u-v+2w; b=u-3w, c= 2u-7v-2w (hier auch alle Buchstaben mit Pfeil drüber)

Zeigen Sie, dass die Vektoren a,b,c linear unabhängig sind.

 

Wir haben das bisher einfach in ein Gleichungssystem umgewandelt und den Gauß'schen Algorithmus angewandt. Aber hier weiß ich nicht mal, wie ich da rangehen soll.

Idee? Danke schon mal im Voraus

Answer 1

Zu zeigen ist: a , b, c sind linear unabhängig

Das ist genau dan der Fall wenn gilt:

p * a + q * b + r * c = 0  => p = q = r = 0

 

p * a + q * b + r * c = 0

<=> p * ( u - v - 2 w ) + q  ( u - 3 w ) + r * ( 2 u - 7 v - 2 w ) = 0

<=> p u - p v - 2 p w + q u - 3 q w + 2 r u - 7 r v - 2 r w  = 0

<=> u ( p + q + 2 r ) + v ( - p - 7 r ) + w ( 2 p - 3 q - 2 r ) = 0

Da { u , v , w } eine Basis ist, sind u , v , w linear unabhängig, es gilt also:

u * x + v * y + w * z = 0 => x = y = z = 0

Also:

u ( p + q + 2 r ) + v ( - p - 7 r ) + w ( 2 p - 3 q - 2 r ) = 0

=> p + q + 2 r = -0 und  p - 7 r = 0 und 2 p - 3 q - 2 r = 0

Löst man dieses Gleichungssystem, so ergibt sich:

=> p = q = r =  0

Damit ist die Behauptung, dass a , b , c linear unabhängig sind, gezeigt.