Berechnen Sie die Grundstücksgröße

Question

Aufgabe:

Ein Grundstück wird durch zwei Straßen und einen Fluss begrenzt

a) Modellieren Sie den Fluss durch ein Polynom 3.Grades. Verwenden Sie die gesicherten Punkte aus der Planskizze. Im Punkt (2|3) verläuft der Fluss exakt von Westen nach Osten.

b) Berechnen Sie die Grundstücksgröße

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte dringend Hilfe. Das einzige was ich weiß, ist, dass ich die Ausgangsgleichung ax^3+bx^2*cx+d brauche

Comments

"Verwenden Sie die gesicherten Punkte aus der Planskizze."

Leider fehlt diese Skizze.

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Oh ich kann die einscannen

Answer 1

die Ausgangsgleichung muss f(x)= ax³+bx²+cx+d heißen. Die Ableitung f '(x)= 3ax²+2bx+c ist an der Stelle x=2 gerade 0 und da es ein Sattelpunkt ist muss auch die 2. Ableitung f ''(x)=6ax+2b an dieser Stelle 0 sein.

Im Punkt (2|3) verläuft der Fluss exakt von Westen nach Osten bedeutet dann:

(1) 3=8a+4b+2c+d

(2) 0=12a+4b+c

(3) 0=12a+2b

(0|6) ist abgelesener Punkt.

(4) d=6

a) Dann System lösen.

b) Integral der Lösung von a) in den Grenzen von 0 bis 4.

Comments

Eine Frage wie sind Sie auf das Ergebnis (1) gekommen, also woher kommt die 8a+4b+2c+d?

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ich habe (2|3) in f(x)= ax³+bx²+cx+d eingesetzt.

Answer 2

dass ich die Ausgangsgleichung ax³+bx²*cx+d brauche

Das ist keine Gleichung. Das kann man an dem Gleichheitszeichen erkennen.

Du brauchst

(1)        \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)

In diese Gleichung setzt du die gesicherten Punkte ein. Dadurch bekommst du drei Gleichungen.

Im Punkt (2|3) verläuft der Fluss exakt von Westen nach Osten.

Dort ist die Ableitung 0, also

        \(f'(2) = 0\)

und somit

        \(0 = 3a\cdot2^2+ 2b\cdot2 + c\).

Jetzt hast du vier Gleichungen mit den vier Unbekannten \(a, b, c, d\).

Löse das Gleichungssystem und setze die Lösung in (1) ein.

Berechne dann

        \(\int\limits_0^4 f(x)\mathrm{d}x\)

Comments

Welche Lösung soll ich denn in 1 einsetzen, habe das nicht ganz versranden?

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Die des Gleichungssystems.

Das Gleichungssystem hat nur eine Lösung, nämlich

        \(a=-{{3}\over{8}},\,b={{9}\over{4}},\,c=-{{9}\over{2}},\,d=6 \).

Eine Lösung weist jeder in der Gleichung vorkommenden Variable einen Wert zu. \(a=-{{3}\over{8}}\) und \(b={{9}\over{4}}\) sind nicht zwei Lösungen des Gleichungssystems sondern Bestandteile einer Lösung.

Answer 3

a) Modellieren Sie den Fluss durch ein Polynom 3.Grades. Verwenden Sie die gesicherten Punkte aus der Planskizze. Im Punkt (2|3) verläuft der Fluss exakt von Westen nach Osten.

b) Berechnen Sie die Grundstücksgröße

Ich verschiebe den Graphen um 3 Einheiten nach unten:

Sattelpunkt S(2|0)  ist  (3fachNullstelle)   und Schnitt mit der y-Achse P (0|3) Nun weiter mit der Nullstellenform der Parabel 3.Grades

f(x)=a*(x-2)^3

P (0|3)

f(0)=a*(0-2)^3=-8a

-8a=3           a=-\( \frac{3}{8} \)

f(x)=-\( \frac{3}{8} \)(x-2)^3   und nun wieder 3 Einheiten nach oben:

p(x)=-\( \frac{3}{8} \)(x-2)^3+3

Text erkannt:

\( b \)
\( p(x)=-\frac{3}{8}(x-2)^{3}+3 \)
\( A=\int \limits_{0}^{4}\left(-\frac{3}{8}(x-2)^{3}+3\right) \cdot d x=\left[-\frac{3}{8} \cdot \frac{(x-2)^{4}}{4}+3 x\right]_{0}^{4}= \)
\( =\left[-\frac{3}{8} \cdot \frac{(4-2)^{4}}{4}+3 \cdot 4\right]-\left[-\frac{3}{8} \cdot \frac{(0-2)^{4}}{4}+3 \cdot 0\right]=12 F E \)