Mit Hilfe partieller Integration zeigen, dass lim (y-> inf) g(y) = 0 = lim (y-> - inf) g(y) gilt.

Question

Aufgabe:

Sei f: [a,b] -> R eine stetig differenzierbare Funktion und g: R -> R, y -> Integral (b,a) f(x)*sin(y*x)dx.

Zeigen Sie mit Hilfe partieller Integration dass lim (y-> inf) g(y) = 0 = lim (y-> - inf) g(y) gilt.

Problem:

Keinen blassen Schimmer. Wäre ganz lieb wenn jemand helfen könnte.

Comments

Hallo,

Du könntest doch schonmal einen Schritt der partiellen Integration für das angegebene Integral ausführen - vielleicht siehst Du dann mehr.

Gruß

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Vom Duplikat:

Titel: Beweis mit partieller Integration, dass ... gilt.

Stichworte: partielle-integration,differenzierbarkeit,stetig,beweise

Aufgabe:

Es sei f:[a, b] → ℝ  eine stetig differenzierbare Funktion und
$$ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, y \mapsto \int_{a}^{b} f(x) \sin (y \cdot x) \mathrm{d} x $$
Zeigen Sie mit Hilfe partieller Integration, dass $$\lim _{y \rightarrow \infty} g(y)=0=\lim _{y \rightarrow-\infty} g(y)$$ gilt.

Kann mir jemand erklären wie man das löst?

Answer 1

Laut Definition von \(g\) ist

        \(\lim\limits_{y\to\infty}g(y)=\lim\limits_{y\to\infty}\int_{b}^{a}f(x)\sin\left(yx\right)\mathrm{d}x\).

Laut partieller Integration

        \(\int u'(x)v(x)\mathrm{d}x = u(x)\cdot v(x)-\int u(x)v'(x)\)

drängen sich zwei Möglichkeiten auf, in dem Integral \(\int_{b}^{a}f(x)\sin\left(yx\right)\mathrm{d}x\) die Faktoren \(u'(x)\) und \(v(x)\) zuzuweisen:

• \(u'(x)=f(x)\), \(v(x)=\sin(yx)\)
  
• \(u'(x)=\sin(yx)\), \(v(x)=f(x)\)
  

Untersuche beide Möglichkeiten.

Comments

ich habe die selbe Aufgabe und verstehe sie auch nicht. Wie soll ich denn die beiden Möglichkeiten untersuchen? Hast du vielleicht noch irgendeinen Tipp der mir hilft die Aufgabe zu lösen bzw. einen Link oder ein Stichwort nach was ich im Internet suchen könnte? Hänge leider ein bisschen hinterher und habe von dieser Aufgabe so gut wie keine Ahnung.

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Wie soll ich denn die beiden Möglichkeiten untersuchen?

In die Formel für partielle Integration einsetzen.

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Und was bringt mir das einsetzen? f(x) ist ja nicht angegeben, wie soll ich da dann weiter integrieren? Für mich sieht der zweite Fall besser aus, aber was das bringt verstehe ich leider nicht.