Begründe, dass die Seitenfläche...

Question

Aufgabe:Ein Rhombendedokaeder entsteht, wenn auf den 6 Seitenflächen eines Würfels (hier mit einer Kantenlänge von \( 2 \mathrm{LE}) \) gerade quadratische Pyramiden aufgesetzt werden. Die Höhe der Pyramide beträgt dabei 1LE. Der Ursprung des Koordinatensystems wird in die Mitte des Würfels gelegt. Der entstandene Körper hat 12 kongruente Seitenflächen.
a) Begründe, dass die Seitenfläche \( \mathrm{FS}_{1} \mathrm{GS}_{2} \) eine Raute ist.
b) Berechne die Innenmaße der Winkel dieser Raute.
c) Untersuche die Lagebeziehung der Geraden \( g_{G S_{1}} \) und \( h_{C S_{2}} \).
d) Berechne das Volumen des Rhombededokaeders.

Problem/Ansatz: bin Dankbar wenn mir jemand helfen kann, bitte Rechenweg mit Lösung.

Bin Verzweifelt

Answer 1

a) Die Koordinaten sind

F(-1;1;1) , S₁(0;2;0) , G(1;1;1) , S₂(0;0;2) .

Zeige mal erst, dass die überhaupt alle in einer Ebene liegen.

Diese hat die Gleichung y+z=2 .

Die Seitenlängen des Vierecks FS1GS2 bekommst du mit der

Formel d = √(x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + (x3-y3)^2 ) hier also

z.B. für FS1  :  d= √ ( (-1)^2 + (-1)^2 + 1^2 ) = √3

Für die anderen drei Seiten auch, also: Raute !

Innenwinkel z.B. bei F bekommst du als Winkel zwischen den

Vektoren FS1und FS2 mit dem Skalarprodukt:

cos(α) = FS1*FS2 / ( |FS1 * |FS2| ) = -1/3  also α=109,5°

Der gegenüberliegende also auch und die anderen beiden je

(360°-2*-109,5°)/2 = 70,5°.

Gerade GS1: x = (1;1;1) + t*(1;-1;1)  und CS2 : x = (0;0;2) + s*(1 ; -1 ; -3 )

Gleichsetzen gibt in den ersten beiden Koordinaten nach Addition 0=2,

also sind die Geraden windschief.

Voluem=  V_Würfel + 6* V_Pyramide = 8 + 6 * (1/3) *4 * 1 = 16 VE.

Answer 2

(a) Eine quadrat. Pyramide mit Seitenlänge 2 und Höhe 1 hat einen Neigungswinkel von 45°. Die Seitenflächen sind also wirklich Flächen und nicht an der Kante geknickt. Die Fläche hat 4 gleich lange Seiten.

(b) Diie Seiten der Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke mit Grundlinie 2 und Höhe sqrt(2).

(c) Wo liegen die Punkte?

(d) Würfel plus 6 Pyramiden = 2 Würfel.