Eine Funktion f:D→Y ist genau dann stetig in x, wenn für alle Folgen xn (xn∈D) die gegen x konvergieren gilt, dass f(xn) gegen f(x) konvergiert. (Es gilt also auch die Umkehrung!)
Daraus folgt, dass du zum Beweis der Unstetigkeit einer Funktion nur eine Folge finden musst, die diese Forderung nicht erfüllt.
Nichts anderes wurde hier getan.
Die gewählte Folge x+√2/n ist eine Folge irrationaler Zahlen da √2/n für alle n irrational ist. Laut der Festlegung für die Funktion ist der Funktionswert aller dieser Elemente 0.
Für n→∞ strebt die gewählte Folge aber gegen x, welches rational ist. Daher ist der Funktionswert des Grenzwertes eben nicht 0, sondern 1/q.
Daher ist die Bedingung für Stetigkeit von f in x∈ℚ nicht erfüllt und f ist unstetig in allen x∈ℚ.