Verstehe Beweis zu Unstetigkeit nicht. Wie kommen die auf f(x)=1/q?

Question

Ich lerne gerade für eine Klausur und bin dabei im Netz auf folgende Aufgabe gestoßen:

http://www.analysis-lenz.uni-jena.de/ls_analysis_multimedia/Lehrveranstaltungen/Hoehere+Analysis+I+SoSe2012/SoSe2012_HABlatt3_Loesungsvorschlag_pdf.pdf

Aufgabe 1c. Ich verstehe den Beweis, der dann auf Seite 2 erläutert wird, nicht so ganz.

Wieso wird bei der Unstetigkeit gerade diese Folge gewählt und wie kommen die auf f(x)=1/q ?

Und kann man den 2. Teil des Beweises zur Stetigkeit nicht einfacher formulieren? Ich hatte versucht da was mit dem Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit zu machen, bin aber nicht wirklich weiter gekommen.

Answer 1

Eine Funktion f:D→Y ist genau dann stetig in x, wenn für alle Folgen x_n (x_n∈D) die gegen x konvergieren gilt, dass f(x_n) gegen f(x) konvergiert. (Es gilt also auch die Umkehrung!)

Daraus folgt, dass du zum Beweis der Unstetigkeit einer Funktion nur eine Folge finden musst, die diese Forderung nicht erfüllt.

Nichts anderes wurde hier getan.

Die gewählte Folge x+√2/n ist eine Folge irrationaler Zahlen da √2/n für alle n irrational ist. Laut der Festlegung für die Funktion ist der Funktionswert aller dieser Elemente 0.

Für n→∞ strebt die gewählte Folge aber gegen x, welches rational ist. Daher ist der Funktionswert des Grenzwertes eben nicht 0, sondern 1/q.

Daher ist die Bedingung für Stetigkeit von f in x∈ℚ nicht erfüllt und f ist unstetig in allen x∈ℚ.