Bestimmen sie ein paar (x,y) sodass folgende gleichung gilt

Question

Aufgabe:

Wie bestimmt man ein paar ganzer zahlen(x,y), sodass 27x+21y=306 gilt

Problem/Ansatz:

Ich habe den ggt von 27 und 21 berechnet aber eingesetzt würde nicht 306 rauskommen. Mit dem chinesischen restsatz würde es auch nicht gehen.

27x=306-21y
X=11,33-1,28y
21y=306-27x
Y=14,57-0,77x

Würde auch nicht funktionieren

Comments

Wolframalpha liefert:

\( x=9-7 n \) and \( y=9 n+3 \) and \( n \in \mathbb{Z} \)

Answer 1

Hallo,

wie sieht es mit einer grafischen Lösung aus

27x+21y=306    |3

9x+7y = 102    | -9x

       7y = 102 -9x    | : 7

        y= 102/7  -9/7  x      | -3/7 ausklammern

        y= -3/7 ( 9x-34)

grafisch: ~plot~  (102/7)-(9/7) *x; ~plot~

Lösungen : ablesen   (2|12 ) (9|3)

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Wir sollen es ohne fragen machen

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3/7 ist ganz sicher eine ganze Zahl.

Answer 2

Wenn Du ganze Zahlen suchst, wieso befinden sich dann Dezimalzahlen in Deiner Rechnung?

Wie kommst Du auf den chineischen Restsatz? Sieht Du hier irgendwelche Reste in der Aufgabe?

Benutze den Euklidschen Algorithmus.

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Der ggt ist 3

Wenn man den euklidischen Algorithmus rückwärts nimmt und auf -3 und 4 kommt klappt's auch nicht

Answer 3

ggt von 27 und 21   und 306 ist 3.

Also erst mal durch 3 teilen:

9x + 7y = 102 .

Und dann mit dem erweiterten euklid. Alg. erst

mal 9*x+7y = 1 lösen (  denn 1=ggT(9,7)

gibt -3*9 + 4*7 = 1   | * 102

-306*9 + 408*7  = 102   | *3

-306*27 + 408*21 = 306

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Dankeeeeeeee

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Und die -3 und die 4 hat wahrscheinlich Dein CAS errechnet.

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Kann ich sogar von Hand:

9 = 1*7 + 2
7=3*2+1

==>   1 = 7-3*2 und oben 2= 9-7

einsetzen   1 = 7 - 3*(9-7) = 7 -3*9 + 3*7 = -3*9 + 4*7  gut wa ?

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Dann habe ich noch eine lustige Aufgabe für Dich:

4200005334*x+4666673046*y = 42

Das "sieht" man doch auch sofort. Und das kann man auch "von Hand", sogar ohne Euklid. Oder kommt nun die Standardantwort für alle faulen Mathematiker: "Gib es bei Wolfram alpha ein."

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@Bas: Hast Du es wirklich begriffen? Oder wolltst Du nur bequem ohne zu Denken eine Antwort? Du kannst es ebenfalls mal beweisen, was Du nun kannst:

4200005334*x+4666673046*y = 42

Answer 4

27x = 306 - 21y    | :3
9x = 102 - 7y
9x + 7y = 102

Jetzt kannst du die Gleichung mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus lösen

x = 2 + 7k
y = 12 - 9k