Zeige, dass H nicht negativ definit ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass \( H=I_{4}-\frac{1}{4} 1_{4} 1_{4}^{T} \) nichtnegativ definit ist. Hinweis: Berechnen Sie \( H^{T} H \).

Problem/Ansatz:

Habe erstmal den Hinweis angewendet:

\( \begin{aligned} H^{T} \cdot H &=\left(I_{4}-\frac{1}{4} 1_{4} \cdot 1_{4}^{T}\right)^{T} \cdot\left(I_{4}-\frac{1}{4} \cdot 1_{4} \cdot 1_{4}^T\right) \\ &=\left(I_{4}-\frac{1}{4} 1_{4} \cdot 1_{4}^{T}\right)\left(I_{4}-\frac{1}{4} \cdot 1_{4} 1_{4}^{T}\right) \\ &=\left(I_{4}-\frac{1}{4} \cdot 1_{4} 1_{4}^T\right)^{2} \end{aligned} \)

Ist die Rechnung soweit richtig? Wenn ja, dann ist ja A dann nicht negativ definit wegem dem Hoch 2, oder irre ich mich?( In der Rechnung taucht ein senkrecht Zeichen auf, bitte einfach ignorieren, ich weiß nicht, wie man es wegbekommt)

Comments

Also wenn ich dich nicht falsch verstehe und \( I_{4}\) einfach die 4x4 Einheitsmatrix ist, dann ist doch

\(H=\begin{pmatrix} 3/4 & 0& 0 & 0 \\  0 & 3/4& 0 & 0\\ 0 & 0& 3/4 & 0 \\ 0 & 0& 0 & 3/4 \end{pmatrix} \)

eine positiv definite Diagonalmatrix. Deine Rechnung geht auch.

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Stimmt ja, danke, ja du hast mich richtig verstanden :)

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Oder soll \(1_4=(1,1,1,1)^\top\) sein?

Answer 1

Du hast das doch sehr schön vorgerechnet.

Comments

Danke, freut mich, dass das so passt :)

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Warum soll denn H nichtnegativ definit sein, wenn H^TH=H² ist?

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Dann wäre sie doch idempotent, oder nicht? Also die eigenwerte wären dann doch entweder 0 oder 1, also nicht negativ, oder gibt es da eine andere Begründung?

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H^TH=H² gilt wohl für alle symmetrischen Matrizen, aber nicht alle symmetrische Matrizen sind nichtnegativ definit.

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Also wäre meine rechnung nicht hinreichend? Was sollte ich den stattdessen tun?

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Kann es sein, dass 1₄=(1,1,1,1)^T sein soll und nicht die Einheitsmatrix?

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Ja, habe mich dann wohl verguckt, das tut mir leid

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Rechne nach, dass H^TH = H ist. Dann gilt v^THv = v^T(H^TH)v = (Hv)^T(Hv) ≥ 0 für jeden Vektor v ∈ ℝ⁴, woraus die Behauptung folgt.

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Danke, warum aber ist (Hv)^T(Hv) ≥ 0? Also wie kommst du darauf?

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Hv ist irgendein Vektor im ℝ⁴. Für jeden dieser Vektoren u=Hv gilt u^Tu ≥ 0 (kanonisches Skalarprodukt).

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Ah ok, danke schön