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Die gesuchte Funktion ist ein Polynom vom Grad 4:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$Ihre Ableitungen lauten:$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$$$$f''(x)=12ax^2+6bx+2c$$
Wir müssen 5 Unbekannte nämlich \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) und \(e\) bestimmen. Dazu analysieren wir die Hinweise aus der Aufgabenstellung im Detail.
1) Die Funktion geht durch den Ursprung \((0|0)\) des Koordinatensystems:$$0\stackrel!=f(0)=e\quad\implies\quad \underline{e=0}$$
2) Die Funktion hat im Ursprung einen Wendepunkt:$$0\stackrel!=f''(0)=2c\quad\implies\quad\underline{c=0}$$
3) Die Steigung der Wendetangente im Punkt \((0|0)\) ist dieselbe wie die von der Geraden \(y=x\), also \(1\):$$1\stackrel!=f'(0)=d\quad\implies\quad \underline{d=1}$$
4) Die Funktion geht durch den Punkt \((2|4)\):$$4\stackrel!=f(2)=16a+8b+4c+2d+e=16a+8b+2\quad\implies\quad \underline{8a+4b=1}$$
5) Die Gesuchte hat im Punkt \((2|4)\) die Steigung \(0\):$$0\stackrel!=f'(2)=32a+12b+1\quad\implies\quad \underline{32a+12b=-1}$$
Die beiden Gleichungen aus 4) und 5) lösen wir auf, indem wir die aus 4) mit \(4\) multiplizieren:$$32a+16b=4\quad;\quad32a+12b=-1$$und dann die zweite Gleichung von der ersten subtrahieren:$$4b=5\quad\implies\quad\underline{b=\frac{5}{4}}$$
Das setzen wir in die Gleichung aus 4) ein und finden:$$1=8a+4b=8a+4\cdot\frac{5}{4}=8a+5\quad\implies\quad 8a=-4\quad\implies\quad\underline{a=-\frac{1}{2}}$$
Damit haben wir die Gesuchte gefunden:$$\boxed{f(x)=-\frac{1}{2}\,x^4+\frac{5}{4}\,x^3+x}$$
~plot~ -x^4/2+5x^3/4+x ; x ; 4 ; {0|0} ; {2|4} ; [[-1|3|-1|4,5]] ~plot~
