Erkläre das Sandwich Theorem anhand von eigenen Beispiele

Question

Aufgabe:

Erkläre das Sandwich Theorem anhand von eigenen Beispiele. (Verwende unter anderem trigonometrische Funktionen für deine Beispiele).

Problem/Ansatz:

Ich weiß was das Sandwich Theorem besagt und bedeutet aber ich habe keine Ahnung wie ich es anhand von selbst ausgedachter Beispiel erklären soll.

Wenn a_n ≤ b_n ≤ c_n gilt und wenn a_n gegen den Grenzwert a verläuft und c_n gegen den Grenzwert a verläuft dann muss b_n früher oder später auch gegen a laufen, weil es sich eben zwischen a_n und c_n befindet:D.

Is mir einleuchtend aber ich hab echt 0 Ahnung wie ich das praktisch übertragen soll.

Answer 1

Hallo, ein Beispiel könnte so aussehen:

\(b_n=\frac{1}{n}\cdot \sin(n)\).

Nun gilt ja \(-1\leq \sin(n)\leq 1\). Damit hast du

\(a_n:=-1\cdot \frac{1}{n}\leq \underbrace{\sin(n)\cdot \frac{1}{n}}_{=b_n} \leq 1\cdot \frac{1}{n}=:c_n\) (*)

Und da \(\lim\limits_{n\to \infty} a_n =\lim\limits_{n\to \infty} c_n=0\) gilt, folgt mit der Abschätzung (*), dass \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n=0\) gilt.