Ist es das Selbe ?Orthogonalität

Question

Problem/Ansatz:

Ich habe eine Frage, und zwar wollte ich wissen, ob Skalarprodukt und die Kolinearität von Vektoren nicht das selbe ist ? Sprich, sagt ein Skalarprodukt von 0 nicht das selbe aus wie wenn ein Vektor das mehrfache von dem anderen ist.

Answer 1

Wenn zwei Vektor kolinear sind, also linear abhängig, so ist der eingeschlossene Winkel gleich Null.

Der Zusammenhang ist ja \(\cos(\sphericalangle(v,w))=\frac{\langle v,w\rangle}{\|v\|\cdot \|w\|}\). Wenn man jetzt mal den Nullvektor ausnimmt und \(\langle v,w\rangle=0\) betrachtet, dann muss also \(\cos(\sphericalangle(v,w))=0\) gelten, d.h, es gilt \(\sphericalangle(v,w)=\frac{\pi}{2} \stackrel{\wedge}{=} 90°\). Damit sind sie linear unabhängig. Gilt nun \(\langle v,w\rangle\neq 0\), so kannst du damit nicht allein darauf schließen, ob \(v,w\) kolinear sind oder nicht. Du kannst aber damit den Winkel mit der obigen Formel bestimmen, um zu sehen, ob \(\sphericalangle(v,w)=0\), also \(\cos(\sphericalangle(v,w))=\cos(0)=1\) gilt. Denn dann sind sie kollinear.

Answer 2

Skalarprodukt gleich Null: Orthogonale Vektoren, Cosinus gleich Null

Kollinearität: Parallele Vektoren, Cosinus gleich 1

:-)