Term mit Variablen umformen von ab² - a²b - ac² + a²c + bc² - b²c auf (b-a)(c-a)(c-b)?

Question

kann mir jemand sagen, wie ich von
ab² - a²b - ac² + a²c + bc² - b²c
auf
(b-a)(c-a)(c-b)
komme?

Egal, wie ichs umforme, es klappt nicht. Aber laut Onlinerechner (wolfram alpha) geht es :/

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hier noch der link:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28b-a%29%28c^2-a^2%29-%28c-a%29%28b^2-a^2%29

Answer 1

Addiere ein Null in Form von (abc - abc)

ab² - a²b - ac² + a²c + bc² - b²c + abc - abc

Aus allen Termen in denen b quadratisch ist, oder in denen kein a ist, b ausklammern. Außerdem 1 mal aus -abc:

b *  (ab + c^2 - bc - ac) - a²b - ac^2 + a²c  + abc

Aus den übrigen Termen -a aus klammern:

b *  (ab + c^2 - bc - ac)  - a*( ab + c^2 - ac  - bc)

Klammer (ab + c^2 - bc - ac) ausklammern:

(b-a) *  (ab + c^2 - bc - ac)

Jetzt in der Klammer (ab + c^2 - bc - ac) aus jedem Term, in dem a vorkommt, a ausklammern:

(b-a) * [a *(b-c) + c^2 -bc]

Aus den übrigen -c ausklammern:

(b-a) * [a *(b-c) - c * (-c + b)]

Klammer (b-c) ausklammern

(b-a) * (b-c) * (a-c)

Faktoren vertauschen und mit 1 in Form von -1*-1 multiplizieren:

(b-a) * (-1)*(a-c) * (-1)*(b-c)

ergibt:

(b-a) * (c-a) * (c-b)

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dankeschön für die schöne Erklärung, so etwas in der Richtung hatte ich mir auch vorgestellt, aber ich bin einfach nicht darauf gekommen :) Lieben Dank und lieben Gruß

Answer 2

Manchmal erhält man einen Hinweis, wenn man den umgekehrten Weg einschlägt, so auch hier:

Multipliziere

( b - a ) ( c - a ) ( c - b )

aus. Du erhältst:

b c ² - a c ² - a b c + a ² c - b ² c + a b c + a b ² - a ² b

Und fällt dir nun was auf?

Mir fielen sofort die beiden Summanden - a b c und a b c auf, die sich gegenseitig aufheben.

Also habe ich diese beiden Summanden in

a b ² - a² b - a c ² + a ²c + b c ² - b² c

eingefügt:

= a b ² - a² b - a c ² + a ²c + b c ² - b² c - a b c + a b c

und dann gestaltete sich die Umformung eigentlich ganz einfach...

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Auch dir ganz lieben Dank für deine gute Erklärung :) deine Vorgehensweise hatte ich komischerweise auch versucht, nur hat sich IMMER der selbe Vorzeichenfehler eingeschlichen und ich bin bei -2abc gelandet. Ich bin fast verrückt geworden, weil ich wusste, dass das nicht stimmen kann :D Lieben Dank nochmal und lieben Gruß