Mathematik Mengenlehre (Menge hoch Menge) alle Abbildungen von Menge A auf Menge B

Question

in der Uni Mathematik wurden wir letztens in der Mengenlehre mit Mengen hoch Mengen konfrontriert.

Beispiel:

A := {1,2,3}, B := {0,1}

wenn man nun B ^ A berechnen möchte meinte unser Dozent das dies alle Abbildungen von A auf B sein.

Wobei eine Abbildung auf 0 für ein Element steht, welches in der Menge nicht vorhanden ist und eine

auf 1 analog dazu, dass es vorhanden sei.
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Nun habe ich es so aufgenommen, dass man hier zur Darstellung die Potenzmenge von A berechnet, welche dargestellt
als A' := {ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} wäre. Diese beinhaltet 8 Elemente wohin gegen eines auf 0 oder eben auf 1 abbilden kann und ich somit 16 Möglichkeiten hätte...

Wenn ich nun die Kardinalität berechne habe
ich hier bei |B| ^ |A| = 8

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Nun habe ich mich gefragt, wie solch eine Abbildung und berechnung der Mengen aussähe, wenn man die Menge B nun mit 3 Elementen definiert also so:

B' := {0,1,2}

wie berechne ich nun B' ^ A, denn das einzige was ich intuitiv machen würde wäre wieder die Potenzmenge von A aufstelen und eben auf einer der drei Mengen von B abbilden, hier hätte ich dann quasi 8*3 = 24 Möglichkeiten, von welchen ich nur 8 belege.

Wenn ich mir nun aber die Kardinalität von |B'| ^ |A| anschaue muss ich feststellen, dass es hier 3 ^ 3 Möglichkeiten gibt, also faktisch 27 und das wäre mehr als 24 bzw. Mir ist nicht ersichtlich wo diese Zahl herkommt.


Ich würde mich um jede Antwort freuen.

Vorallem verstehe ich nicht warum die Kardinalität oben mit den möglichen "tatsächlichen" Abbildungen übereinstimmt und unten nicht.

LG

Comments

Hallo,

die Kardinalität der Menge \(B^A\) sind ja alle Möglichen Abbildungen von \(A\) nach \(B\).

Wenn man jetzt wie im ersten Beispiel \(3\) Elemente in \(A\) hat und \(2\) Elemente in \(B\), dann gibt es ja für jedes Element in \(A\) zwei Möglichkeiten, auf ein Element in B abzubilden. Das heißt es gibt \(2\cdot 2\cdot 2\) Möglichkeiten also \(2^3\)

Wenn du nun allgemein eine Menge \(A\) mit \(n\) Elementen und eine Menge \(B\) mit \(m\) Elementen hast, lässt sich die Menge \(B^A\) berechnen durch \( |B|^{|A|} \) = \(m^n \) weil es ja für jedes Element in \(A\) \(m\) Möglichkeiten gibt, das Element abzubilden. Also insgesamt \(m \cdot m ...\cdot m = m^n\) Möglichkeiten.

Um ehrlich zu sein verstehe ich nicht ganz, was du mit der Poteznmenge meinst. Das einzige was ich dir sagen kann ist, dass in deinem Ersten Beispiel die Kardinalitäten von \(B^A\) und \(P(A)\) übereinstimmen. Du kannst es dir vielleicht so vorstellen:

Man schreibt manchmal auch \(2^A\) statt \(P(A)\). Du kannst bei jeder Teilmenge \(A' \subset A\) für jedes Element \(a \in A\) entscheiden, ob du \(a\) in \(A'\) aufnimmst ober nicht. Also hast du insgesamt \(2^|A|\) Elemente in \(P(A) = 2^A\).

Da in dem ersten Beispiel \(|B| = 2\) ist, hast du ebenfalls \(2^|A|\) Elemente in \(B^A\). Dass die Kardinalität da etwas mit der Potenzmenge zu tun hat ist quasi Zufall.

LG Daniel

P.S.: Du kannst ja mal als Übung für eine Klausur versuchen die Beweise zur Kardinalität der Potenzmenge und der Menge \(B^A\) per Induktion zu führen :)

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Hallo,




die Kardinalität der Menge \(B^A\) sind ja alle Möglichen Abbildungen von \(A\) nach \(B\).

Wenn man jetzt wie im ersten Beispiel \(3\) Elemente in \(A\) hat und \(2\) Elemente in \(B\), dann gibt es ja für jedes Element in \(A\) zwei Möglichkeiten, auf ein Element in \(B\) abzubilden. Das heißt es gibt \(2\cdot 2\cdot 2\) Möglichkeiten also \(2^3\)

Wenn du nun allgemein eine Menge \(A\) mit \(n\) Elementen und eine Menge \(B\) mit \(m\) Elementen hast, lässt sich die Menge \(B^A\) berechnen durch \( |B|^{|A|} \) = \(m^n \) weil es ja für jedes Element in \(A\) \(m\) Möglichkeiten gibt, das Element abzubilden. Also insgesamt \(m \cdot m ...\cdot m = m^n\) Möglichkeiten.

Um ehrlich zu sein verstehe ich nicht ganz, was du mit der Poteznmenge meinst. Das einzige was ich dir sagen kann ist, dass in deinem Ersten Beispiel die Kardinalitäten von \(B^A\) und \(P(A)\) übereinstimmen. Du kannst es dir vielleicht so vorstellen:

Man schreibt manchmal auch \(2^A\) statt \(P(A)\). Du kannst bei jeder Teilmenge \(A' \subset A\) für jedes Element \(a \in A\) entscheiden, ob du \(a\) in \(A'\) aufnimmst ober nicht. Also hast du insgesamt \(2^{|A|}\) Elemente in \(P(A) = 2^A\).

Da in dem ersten Beispiel \(|B| = 2\) ist, hast du ebenfalls \(2^{|A|}\) Elemente in \(B^A\). Dass die Kardinalität da etwas mit der Potenzmenge zu tun hat ist quasi Zufall.




LG Daniel




P.S.: Du kannst ja mal als Übung für eine Klausur versuchen die Beweise zur Kardinalität der Potenzmenge und der Menge \(B^A\) per Induktion zu führen :)