Berechne die globalen Minima und Maxima

Question

Hallo, ich soll die globalen Minima und Maxima der Funktion (x²+y²)exp(x²−y²) mit der Nebenfunktion x²+y²≤4 bestimmen. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Da würde ich mal die partiellen Ableitungen f_x und f_y bestimmen und aus dem Gleichungssystem  f_x=0 ∧ f_y=0  alle möglichen stationären Punkte bestimmen.

Durch Betrachtung der Jacobi-Matrix untersucht man das Verhalten in diesen Punkten.

Der Rand des Integrationsgebietes ist die Kreislinie  k: x²+y²=4 . Entlang dieser Linie können allfällige Rand-Extrema angenommen werden. Da hilft ev. eine Untersuchung nach Lagrange - aber es geht auch ganz gut ohne, gerade wegen der Konstanz des Faktors x²+y² .

Ich habe die Aufgabe mal bei Wolfram gefüttert. Da ergibt sich:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+%28x%5E2%2By%5E2%29*exp%28x%5E2-y%5E2%29+%2C+x%5E2%2By%5E2≤4

Answer 2

Aloha :)

Wir suchen die globalen Extrema der Funktion$$f(x,y)=(x^2+y^2)\cdot e^{x^2-y^2}\quad;\quad x^2+y^2\le4$$Da wir die Extrema lediglich "bestimmen" sollen, brauchen wir keine große Rechnung.

1) Globale Minima

Wegen \(e^{x^2-y^2}>0\) und \(x^2+y^2\ge0\) hat die Funktion ihr Minimum, wenn \(x^2+y^2=0\) ist. Da nur der Punkt \((0|0)\) diese Forderung erfüllt, haben wir das globale Minimum schon gefunden:

$$f(0;0)=0\quad\text{ist das globale Minimum}$$

2) Globale Maxima$$f(x,y)=(x^2+y^2)\cdot e^{(x^2+y^2)-2y^2}$$Im Exponenten kann \(x^2+y^2\) höchstens gleich \(4\) sein. Da von diesem Wert der stets nicht-negative Wert \(2y^2\) subtrahiert wird, ist der Exponent maximal, wenn \(x^2+y^2=4\) und \(y^2=0\) gilt. Diese Forderung erfüllen nur die beiden Punkte \((\pm2;0)\). Für diese Punkte ist auch der Vorfaktor \(x^2+y^2=4\) maximal. Damit haben wir zwei globale Maxima gefunden:

$$f(\pm2;0)=4\cdot e^4\quad\text{sind globale Maxima}$$