Sumpermum und Infimum, Maxima und Minima

Question

Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie das Supremum und Infimum der folgenden Mengen (mit Begründung!)
\( A:=\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \mid x, y \in \mathbb{R}, x \geq 3, y \geq 4\right\} \quad B:=\left\{3-2 \frac{(-1)^{n+1}}{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} . \)
Entscheiden Sie ferner, ob es sich um Maxima und Minima handelt (mit Begründung!).
(b) Sei \( M \subseteq \mathbb{R} \) beschränkt und nichtleer. Zeigen Sie, dass inf \( M=-\sup (-M) \) gilt, wobei \( -M:=\{x \in \mathbb{R} \mid-x \in M\} \)

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Answer 1

a) \(A:=\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \mid x, y \in \mathbb{R}, x \geq 3, y \geq 4\right\} \quad \)

Wenn man das Sup sucht, muss man ja nach möglichst großen Elementen von

A Ausschau halten. Da alles positiv ist,  muss dazu \( \frac{1}{x}\) möglichst groß

und \(\frac{1}{y}\) möglichst klein sein.

Also muss x möglichst klein und y möglichst groß sein.

x=3  und  y groß bedeutet, dass \( \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \) immer ein

wenig kleiner als 1/3 ist . Das ist das Supremum und kein Maximum, da nicht in A.

1/3 ist das Supremum musst du natürlich noch beweisen, also zeigen:

1/3 ist eine obere Schranke für A, aber 1/3 - ε ist für jedes ε>0 keine ob. Schr.