Ordnungsrelationen (Halbordnungsrelation, Halbordnung und Maxima, Minima, Suprema, Infima)

Question

Aufgabe 1: Ordnungsrelationen I

Auf der Menge \( A=N \times \mathbb{N} \) (Gitterpunkte) ist die Halbordnungsrelation \( \preceq \) wie folgt erklärt: \( (a, b) \preceq(c, d) \Longleftrightarrow a \leq c \wedge b \leq d \)
a) Untersuchen Sie, ob für die folgenden Teilmengen von \( A \) größte bzw. kleinste Elemente existieren: \( B=\{(0,2),(1,0),(2,1),(2,2)\}, C=\{(0,2),(1,3),(2,5),(3,4)\} \)
b) Bestimmen Sie für die Mengen \( B \) und \( C \) aus Teil a) die oberen und unteren Grenzen (also Suprema und Infima- sie existieren in beiden Fällen)!
c) Betrachten Sie eine endliche Teilmenge \( D=\left\{\left(a_{1}, b_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}\right), \ldots,\left(a_{k}, b_{k}\right)\right\} \) von \( A \). Zeigen Sie, dass das Supremum und das Infimum von \( D \) existiert.

Aufgabe 2: \( \quad \) Ordnungsrelationen II

Bestimmen Sie in der abgebildeten Halbordnung die Maxima, Minima, Suprema und Infima, falls sie existieren.
\( \min (\{b, f, h, i\}) \)
\( \max (\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{h}, \mathbf{i}\}) \)
\( \sup (\{\mathrm{a}, \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{f}\}) \)
\( \inf (\{f, h, j\}) \)
\( \inf (\{\mathrm{d}, \mathrm{e}, \mathrm{f}, \mathrm{i}\}) \)

Answer 1

Für b also:
b) sup B = (2, 2)
inf B = (0,0)

sup C = (5, 3)
inf C = (0, 2)

 

Zu 1c) lässt sich ein konstruktiver Beweis führen, also ein Beweis durch Konstruktion:
 

Zum Supremum:

Da die Menge D endlich ist, existiert jeweils ein a₀ = max_i a_i und ein b₀ = max_i b_i. In jedem Fall ist also  (a₀, b₀) obere Schranke von D. Würde man nun b₀ oder a₀ um eins Verringern, dann wäre gerade das Element, das einen dieser beiden Werte als Element hatte entweder nicht mehr vergleichbar, oder größer als das neu erzeugte Element, also ist (a₀, b₀) Supremum von D.

Analog zum Infimum.

 

2.) min ({b, f, h, i}) = b, da alle Elemente über d größer als b sind.

max ({a, b, h, i}) existiert nicht.

sup ({a, c, e, f}) = i

inf ({f, h, j}) = d

inf ({d, e, f, i}) existiert nicht. Untere Schranken sind b und c, allerdings sind diese nicht vergleichbar, als kann nicht entschieden werden, welches die größte untere Schranke ist.

 

Der Rest ist bereits richtig von Lu beantwortet.

Comments

das infimum B wäre aber doch 1,0

und das supremum C 3,5

2,2<-sup
   |       \
0,2      2,1
              |
           1,0<-inf

(      3,5       )<-sup
(    /      \      )
3,4     2,5
   \        /
      1,3
        |
     0,2 <-inf

Answer 2

Eine Skizze, dazu, wie man vorgehen könnte:

Zu Aufg. 1:

a) max in B ist (2/2), min ex. nicht ,

max in C ex. nicht,  Die letzen beiden Elemente sind nicht vergleichbar. min ist (0/2).

b) in B infima (0/2) und (1/0)

in C infimum (0/2)

c) klappt vielleicht mit einem Widerspruchsbeweis oder mit vollst. Induktion.

Du musst mit den Definitionen arbeiten.

 

Anmerkung zu Aufg. 2. Annahme Verbindungslinien von unten nach oben zeigen von 'kleiner' nach 'grösser'.

min = b ist (über aufsteigende Umwege mit allen andern Elementen der Menge verbunden

max sieht aus wie wenns i wäre. aber i und h sind nicht auf Ordnung vergleichbar. --> max ex. mE nicht

wahrsch. 2 Suprema e und f , 2 Infima f und h resp. d und e.

ist das überhaupt zulàssig?

Argumentiere am besten mit eurer Definition der Begriffe.

 

Comments

Eine Menge hat stets nur 1 Supremum und 1 Infimum, das zeichnet sie ja gerade aus

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@ Julian Mi. Danke für den Hinweis!

Man liest hier besser Julian Mis Antwort.