Aloha :)
Wir müsssen die Kostenfunktion \(K(x;y)\) unter der Nebenbedingung \(f(x;y)=\text{const}\) optimieren:$$K(x;y)=20x+10y\quad;\quad f(x;y)=173x^{0,65}y^{0,43}-9500=0$$
Der Lagrange-Formalismus kann hier helfen. Demnach muss der Gradient der zu optimierenden Funktion gleich einer Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, heißt das:$$\operatorname{grad}K(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}f(x;y)\quad\implies$$$$\binom{20}{10}=\lambda\binom{0,65\cdot173x^{-0,35}y^{0,43}}{0,43\cdot173x^{0,65}y^{-0,57}}=\lambda\binom{0,65\cdot173\,\frac{x^{0,65}}{x}\,y^{0,43}}{0,43\cdot173x^{0,65}\,\frac{y^{0,43}}{y}}=\lambda\binom{\frac{0,65}{x}\cdot173x^{0,65}y^{0,43}}{\frac{0,43}{y}\cdot173x^{0,65}y^{0,43}}$$Wir nutzen nun die Nebenbedingung und setzen \(9500\) ein:$$\binom{20}{10}=\lambda\binom{\frac{0,65}{x}\cdot9500}{\frac{0,43}{y}\cdot9500}=\lambda\binom{\frac{6175}{x}}{\frac{4085}{y}}$$Da wir den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) gar nicht bestimmen sollen und sowieso nicht brauchen, überlegen wir uns, was diese Gleichung geometrisch bedeutet. Die beiden Vektoren müssen parallel \((\lambda>0)\) oder anti-parallel \((\lambda<0)\) zueinander sein. Sie spannen also keine Fläche auf. Da die Determinante von zwei 2-dimensionalen Vektoren die von diesen aufgespannte Fläche angibt, heißt unsere Forderung:
$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rr}20 & \frac{6175}{x}\\[1ex]10 & \frac{4085}{y}\end{array}\right|=20\cdot\frac{4085}{y}-10\cdot\frac{6175}{x}=\frac{81700}{y}-\frac{61750}{x}$$Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \(xy\) und finden:$$0=81700x-61750y\implies61750y=81700x\implies y=\frac{81700}{61750}x\implies \underline{\underline{y=\frac{86}{65}\,x}}$$
Damit sind wir quasi fertig und brauchen das nur noch in die Nebenbedingung einzusetzen:
$$9500=173x^{0,65}\left(\frac{86}{65}\,x\right)^{0,43}=173\cdot\left(\frac{86}{65}\right)^{0,43}\!\!x^{1,08}\approx195,131640\cdot x^{1,08}\quad\implies$$$$x=\left(\frac{9500}{195,131640}\right)^{\frac{1}{1,08}}\approx36,5093\quad\implies\quad y=\frac{86}{65}\,x\approx48,3046$$
Die optimierten Kosten betragen daher:$$K(36,5093\,;\;48,3046)=1\,213,23\,\mathrm{GE}$$
Ich wollte meine Ergebnisse von WolframAlpha prüfen lassen, aber die kriegen da keine Lösung hin. Daher habe ich alles nochmal nachgerechnet. Es müsste eigentlich stimmen.
