a ) Wenn die Fördermengen jährlich um 2 % steigen, dann reicht der Ölvorrat soviele Jahre, bis die Summe der jährlichen Fördermengen den Vorrat übersteigt, bis also gilt:
$$24000000000\le \sum _{ k=0 }^{ n }{ { 248000000*1,02 }^{ k } }$$$$\Leftrightarrow \frac { 24000000000 }{ 248000000 } \le \sum _{ k=0 }^{ n }{ { 1,02 }^{ k } }$$$$\Leftrightarrow \frac { 3000 }{ 31 } \le \sum _{ k=0 }^{ n }{ { 1,02 }^{ k } }$$$$\Leftrightarrow \frac { 3000 }{ 31 } \le \frac { { 1,02 }^{ n+1 }-1 }{ 0,02 }$$$$\Leftrightarrow 3000*0,02\le { 31*1,02 }^{ n+1 }-31$$$$\Leftrightarrow 60+31\le { 31*1,02 }^{ n+1 }$$$$\Leftrightarrow \frac { 91 }{ 31 } \le { 1,02 }^{ n+1 }$$$$\Leftrightarrow \ln { (\frac { 91 }{ 31 } ) } \le { (n+1)\ln { (1,02) } }$$$$\Leftrightarrow \frac { \ln { (91)-\ln { (31) } } }{ \ln { (1,02) } } \le { (n+1) }$$$$\Leftrightarrow n\ge \frac { \ln { (91)-\ln { (31) } } }{ \ln { (1,02) } } -1$$$$\Leftrightarrow n\ge \frac { \ln { (91)-\ln { (31) } } }{ \ln { (1,02) } } -1$$$$\Leftrightarrow n\ge 53,38$$
Also: Nach 53,38 Jahren (1986 ist das Jahr 0), also im Jahre 2040 werden die Ölvorräte erschöpft sein, wenn die Fördermenge jährlich um 2 % steigt.
b) Bleibt die Fördermenge konstant, dann reichen die Vorräte für
24000000000 / 248000000 = 96,77 Jahre (1986 mitgerechnet), also bis ins Jahr 2082.
c) Wenn die Fördermengen jährlich um 2 % sinken, dann reicht der Ölvorrat soviele Jahre, bis die Summe der jährlichen Fördermengen den Vorrat übersteigt, bis also gilt:
$$24000000000\le \sum _{ k=0 }^{ n }{ { 248000000*0,98 }^{ k } }$$$$\Leftrightarrow \frac { 24000000000 }{ 248000000 } \le \sum _{ k=0 }^{ n }{ { 0,98 }^{ k } }$$$$\Leftrightarrow \frac { 3000 }{ 31 } \le \sum _{ k=0 }^{ n }{ { 0,98 }^{ k } }$$$$\Leftrightarrow \frac { 3000 }{ 31 } \le \frac { { 0,98 }^{ n+1 }-1 }{ -0,02 }$$$$\Leftrightarrow \frac { 3000*(-0,02) }{ 31 } \ge { 0,98 }^{ n+1 }-1$$$$\Leftrightarrow \frac { -60+31 }{ 31 } \ge { 0,98 }^{ n+1 }$$$$\Leftrightarrow \frac { -29 }{ 31 } \ge { 0,98 }^{ n+1 }$$
Die linke Seite ist negativ, die rechte positiv. Da aber eine negative Zahl niemals größer sein kann als eine positive, gibt es hier keine Lösung für n. Das bedeutet, dass die Ölvorräte unendlich lange reichen, wenn die Fördermenge jährlich um 2 % sinkt.
