Welcher Radius und welche Höhe sind zu wählen?- Extremwertprobleme mit Nebenbedingung

Question

Aufgabe:

Ein Verpackungsunternehmen stellt Konservendosen für verschiedene Lebensmittelprodu- zenten her. Für einen Kunden sollen Blechdosen mit einem Volumen von 1 Liter hergestellt werden. Das Unternehmen möchte möglichst effizient arbeiten. Daher sollen der Radius und die Höhe der Dose so gewählt werden, dass der Materialverbrauch minimal ist.
Welcher Radius und welche Höhe sind zu wählen?

Problem/Ansatz:

Gesucht ist das Minimum (der Tiefpunkt) der Funktion O(r), welche den Oberflächeninhalt der Konservendose in Abhängigkeit von dem Radius beschreibt. Ist der Oberflächeninhalt minimal, so ist auch der Materialverbrauch minimal. Die Untersuchung von O(h) ist ebenfalls möglich, allerdings schwieriger.
- Die Funktion O(r) ergibt sich aus der Formel für die Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders und aus der Nebenbedingung V zylinder= 1l .

Wie kann man das ermitteln ich blicke da nicht so ganz durch

Ich bitte um eine Erklärung. Vielen Dank für die Mühe im Voraus!

Answer 1

- Die Funktion O(r) ergibt sich aus der Formel für die Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders und aus der Nebenbedingung V zylinder= 1l .

Da hast du doch schon das Wesentliche erfasst.

Schreibe die Formel für den Oberflächeninhalt auf! Darin sind zwei Variablen: r und h.

Da nun V=1 gelten soll, gilt also die Nebenbedingung 1=πr²h.

Du kannst diese Gleichung entweder nach r umstellen und so r in der Oberflächenformel durch h ausdrücken, oder du kannst die Formel nach h umstellen (ist einfacher) und in der Oberflächenformel h durch den gefundenen Term ersetzen.

Damit hast du eine Oberflächenformel die nur noch von r abhängt, und die Extremstellen kannst du durch Bilden der ersten Ableitung davon finden.

Comments

Ich verstehe das nicht so ganz, wie kann man das jetzt umsetzen?

Können Sie mir bitte ein Beispiel geben?

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Ich verstehe das nicht so ganz, wie kann man das jetzt umsetzen?

Können Sie mir bitte ein Beispiel geben?

Das wiederum verstehe ich nicht.

Was ist nicht zu verstehen an der Aufforderung

Schreibe die Formel für den Oberflächeninhalt auf!

Beim nächsten irritiert dich vielleicht, dass ich dir zwei Alternativen angeboten habe: Deshalb ohne wenn und aber: Stelle

1=πr²h nach h um.

Wie sehen deine Ergebnisse DIESER BEIDEN Schritte aus?

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1÷(πr²)=h

Meinen Sie das so.

Soll ich das dann statt h diesen Term einsetzen ?

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Richtig. Genau das ist der Weg.