Höhe H und Radius r wählen für 50l Volumen

Question

Aufgabe:

Wie muss man die Höhe \( h \) und den Radius \( r \) einer zylinderförmigen Dose wählen, damit sie ein Volumen von
0.1 Litern hat und die Oberfläche minimal ist? Geben Sie bitte alle Rechenschritte an und runden Sie das Ergebnis auf eine Genauigkeit von einem Millimeter.

Könnte mir jemand eine Lösung Zeigen zum vergleich ? wenn möglich mit Lösungsweg fürs verständnis

Answer 1

Nebenbedingung

v = pi·r^2·h --> h = v/(pi·r^2)

Hauptbedingung

o = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h

o = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·v/(pi·r^2)

o = 2·pi·r^2 + 2·v/r

o' = 4·pi·r - 2·v/r^2 = 0 → r = (v/(2·pi))^(1/3)

Answer 2

Zielfunktion (Was soll maximal werden?): (1) O=1πr²·h

Nebenbedingung: 0,1=π·r²·h oder (2) h=0,1/(πr²).

(2) in (1) einsetzen, ergibt O(r)=2πr²+0,2/r.

Nullstellen der 1. Ableitung auf Maximum überprüfen.