Äquivalenzrelation mit Quantor

Question

Aufgabe:

Prüfen SIe, ob die folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist.

$$ R = \{(a,\, b) \in \mathbb{Z}^2 \,| \, \exists p\in \mathbb{Z}\; mit \;a = b + 4p\} $$
Problem/Ansatz

Also ich bin mir nicht einmal sicher, ob ich die Relation richtig verstehe. Das heißt ja, es gibt ein p (wenigstens oder maximal?), was die Gleichung a = b + 4p erfüllt. Ist das soweit schon einmal richtig? Heißt das jetzt auch, dass ich nach p auflösen muss?

Reflexiv ist die Relation ja dann schon, weil wenn ich das b durch a ersetze, dann das a eliminiere (Durch ein minus a) und dann hat man ja nur noch 4p = 0 übrig. Die Lösung wäre also 0. Demnach wäre die Relation also reflexiv?

Müsste man das dann für die Symmetrie so schreiben?

$$ \forall x,\:y \in \mathbb{R} \; xRy \; \Rightarrow \: yRx \; d.h. \; \exists p\in \mathbb{Z}\; mit \;a = b + 4p \: \Rightarrow \exists p\in \mathbb{Z}\; mit \;b = a + 4p $$

Wenn es also ein p gibt, dass die Gleichung erste Gleichung erfüllt, dann folgt daraus, dass dieses p auch die zweite Gleichung erfüllt?

Answer 1

Die Relation heißt: "a und b sind äquivalent zueinander, wenn sie den gleichen Rest bei Teilung durch 4 lassen."

Und wenn es eine ganze Zahl p gibt mit

\(a = b + 4p \), dann gibt es auch eine ganze Zahl q mit \(b = a + 4q \),

Welches diese Zahl q ist findest du heraus, wenn du \(a = b + 4p \), nach b umstellst.