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Aufgabe:

Einstellungstest
Aus langer Erfahrung weiß man, dass beim Einstellungstest für einen Verwaltungsposten im
öffentlichen Dienst zwar 99 % der ungeeigneten Personen richtig, aber auch von den geeigneten Bewerbern 6 % falsch eingestuft werden. Beim neuesten Einstellungstest weiß man, dass
80 % der Bewerber für den Posten geeignet sind.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein zufällig ausgewählter Bewerber als geeignet
eingestuft?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufälliger Bewerber geeignet, obwohl er beim
Einstellungstest als ungeeignet befunden wurde?


Problem/Ansatz:

Guten Morgen ihr Matheprofis,
Könnt ihr mir diese Aufgabe bitte ausrechnen und erklären, was ihr gerechnet habt?
Vielen Dank!

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Aloha :)

Aus dem Text entnehmen wir zunächst:

$$\begin{array}{|c|r|r|r|}\hline & \text{ist geeignet} & \text{ist ungeeignet} & \text{Summe}\\\hline \text{als geeignet eingestuft}\\\hline\text{als ungeeignet eingestuft} & 0,06\cdot0,80 & 0,99\cdot0,20\\\hline\text{Summe} & 0,80 & 0,20 & 1,00\\\hline\end{array}$$

Das rechnen wir aus und vervollständigen die Tabelle durch Addition bzw. Subtraktion:

$$\begin{array}{|c|r|r|r|}\hline & \text{ist geeignet} & \text{ist ungeeignet} & \text{Summe}\\\hline \text{als geeignet eingestuft} &  0,752 & 0,002 & 0,754\\\hline\text{als ungeeignet eingestuft} & 0,048 & 0,198 & 0,246\\\hline\text{Summe} & 0,800 & 0,200 & 1,000\\\hline\end{array}$$

Daraus lesen wir nun ab:$$p_a=P(\text{"als geeignet eingestuft"})=0,754=75,4\%$$$$p_b=\frac{P(\text{"als ungeeignet eingestuft" und "ist geeignet")}}{P(\text{"als ungeeignet eingestuft")}}=\frac{0,048}{0,246}\approx0,1951=19,51\%$$

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Das wird genau so wie in deiner Frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein zufällig ausgewählter Bewerber als geeignet eingestuft?" gelöst: bei a) das eine Baumdiagramm aufstellen, bei b) das andere Baumdiagram aufstellen.

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a) 0,8*0,06 = 0,048 = 4,8%

b) 0,2*0,01/(0,8*0,06+0,2*0,99) = 0,0081 = 0,81%

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