Wie kann ich beweisen das sich eine Lineare Funktion und eine Quadratische Funktion sich berühren?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich beweisen das sich eine Lineare Funktion und eine Quadratische Funktion sich berühren?

y=0,8x + 10,7

y=-0,05x^2 + x +10,5
Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo Maxi,

wenn sich zwei Funktionen \(f\) und \(g\) - gleich welcher Art - berühren, dann müssen sie in einem Punkt \(x_b\) den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung besitzen. Hier sei$$\begin{aligned}f(x)&=0,8x + 10,7 \quad &&f'(x) = 0,8 \\ g(x)&=-0,05x^2+x+10,5 \quad &&g'(x)= -0,1x + 1\end{aligned}$$man beginnt mit der Ableitung - das ist einfacher:$$\begin{aligned}f'(x_b) &= g'(x_b) \\ 0,8 &= -0,1x_b + 1\\ x_b &= 2\end{aligned}$$Jetzt muss man nur noch prüfen, ob \(f(2)\) und \(g(2)\) identisch sind$$f(x_b=2)=1,6 + 10,7 = 12,3 \\ g(x_b=2)=-0,2 + 2  +10,5 = 12,3$$passt! \(f(x_b)=g(x_b)\) die Funktionen berühren sich in \((2|\,12,3)\)

~plot~ 0,8x+10,7;-0,05x^2+x+10,5;[[-9|9|-1|15]];{2|12.3} ~plot~

Comments

.. mir fällt gerade ein: habt Ihr Ableitungen überhaupt schon gehabt?

Answer 2

0,8x + 10,7=-0,05x^2 + x +10,5

Die Lösung ergibt nur einen x-Wert mit dazu gehörendem y-Wert. Dieser Punkt ist dann der Berührpunkt.

Answer 3

Funktionen gleichsetzen
0,8x + 10,7 = -0,05x2 + x +10,5
0,05x² - 0,2x + 0,2 = 0
x² - 4x + 4 = 0

pq-Formel anwenden

x1;2 = - ((-4))/2 ±√(((-4)²)/4)- 4
x1;2 = 2 ± √(4- 4)
x = 2

y-Wert berechnen

y = 0,8 *2 + 10,7 = 12,3
y=-0,05*22 + 2 +10,5 = 12,3