Umwandlung quadratische Funktion in Scheitelform

Question

Hallo Zusammen,

ich habe, mal wieder, eine Verständnisfrage, da entweder ich den Rechenschritt nicht verstehe oder sich im Buch, was ich nicht glaube, ein Fehler eingeschlichen hat. Im Buch stehen zwei Beispiele zur Umwandlung von quadratischen Gleichungen in die Scheitelform. Die Aufgabe an sich verstehe ich. Allerdings verstehe ich an einem Punkt die Rechnung nicht. Dabei geht es um folgende Stelle:

y = a₂x^2 + a₁x

...

quadratische Ergänzung

...

y = a₂ ( (x + \( \frac{a₂}{2a₂} \) )^2 - ( \( \frac{a₁}{2a₂} \) )^2 )

Quelle:
Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung, Auflage 1, 1993, Berlin, Cornelsen Verlag, Seiten 95 und 96

Bei meine Verständnisfrage geht es mir um den fett-markierten Teil. Im Buch wird dieser Teil wie folgt gelöst:

- \( \frac{a₁^2}{4a₂} \)

Eigentlich müsste sich die Potenz doch normalerweise auf alles in der Klammer wirken und folgendes Ergebnis ergeben

- \( \frac{a1^2}{4a2^2} \)

Ich muss doch nicht nur die "4" im Nenner potenzieren, sondern auch die "a₂". Oder verstehe ich das gerade falsch?

Im Buch (siehe Quelle) auf Seite 96 ist genau dies passiert und in der nächsten Zeile verschwindet der Exponent ohne ersichtlichen Grund:

y = a₂x^2 + a₁x + a₀

...

quadratische Ergänzung

...

y = a₂ * ( ( x + \( \frac{ a₂ }{ 2a₂ } \) )^2 + \( \frac{ 4a₀a₂ - a₁^2 }{ 4a₂^2 } \) )

y = a₂ *  ( x + \( \frac{ a2 }{ 2a₂ } \) )^2 + \( \frac{ 4a₀a₂ - a₁^2 }{ 4a₂ } \)

Ist das ein Fehler oder denke ich nur falsch?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Liebe Grüße und allen ein schöne Wochenende,

Thorsten

Comments

Wieder Gleichungen ohne Zusammenhang und ohne Erklärung. Vor allem aber ohne Zusammenhang mit der Aufgabenstellung.

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Hallo Nudger, vielen Dank für deine Hilfe. Allerdings verstehe ich deinen Kommentar nicht. In meiner obigen Beschreibung und sogar in der Überschrift steht, doch die Aufgabenstellung. Die von mir genannte Gleichung soll in die Scheitelform zur Ermittlung des Scheitelpunkts umgestellt werden. Es handelt sich hierbei auch nicht um eine Aufgabe, sondern um ein Bespiel, bei dem ich an einem Punkt lediglich ein Verständnisproblem hatte. Deine Lösung hat auch nichts mit der Scheitelform zu tun. Du hast lediglich die Gleichung ausgerechnet, was mein Problem nicht gelöst hat. Ich habe in der Quelle auf die exakte Aufgabe bzw. das Beispiel verwiesen.

f(x) = a*x^2 + b * x

f(x) = a ( x^2 + \( \frac{b}{a} \) * x )

f(x) = a ( x^2 + \( \frac{b}{a} \) * x + ( \( \frac{b}{2a} \) )^2  - ( \( \frac{b}{2a} \) )^2 )

f(x) = a ( (x + \( \frac{b}{2a} \) )^2 - ( \( \frac{b}{2a} \) )^2 )

f(x) = a ( x + \( \frac{b}{2a} \) )^2 - \( \frac{b^2}{4a} \)

S = ⟨ - \( \frac{b}{2b} \) | \( \frac{b^2}{4b} \) ⟩

Das war der gesamte Rechenweg der Aufgabe bzw. des Beispiels und mich hatte lediglich interessiert, warum hier \( \frac{b^2}{4a} \) und nicht \( \frac{b^2}{4a^2} \) heraus kommt, wenn die Klammer aufgelöst wird. Ich hatte aber mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. Vor der großen Klammer stand ebenfalls noch ein "a" und mit diesem im Bruch kann ich den Exponenten um 1 reduzieren.

Ich möchte mich sehr für deine Hilfe und vor allem für deine schnelle Antwort bei dir bedanken. Dass ist für mich nicht selberverständlich und ich gelobe Besserung, die Aufgabenstellung bei nächsten Mal besser zu beschreiben.

Liebe Grüße

Thorsten

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Sorry, thorsten79de, mein Kommentar bezog sich nicht auf Deine Aufgabenstellung, sondern ausschließlich auf den Kommentar von Moliets direkt darüber.

Auch ein Teil (oder alles?!) Deines Kommentar beziehen sich wohl auf Moliets Kommentar dadrüber - der stammt nicht von mir.

Answer 1

Beachte das beim Ausmultiplizieren aus der Klammer der Faktor a dazu kommt und ein a dann gekürzt wird.

$$y = ax^2 + bx \newline y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) \newline y = a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}) \newline y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}$$

Comments

Hallo Mathecoach, vielen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort. Ich habe tatsächlich bei der großen Klammer im Buch den Faktor einfach übersehen und damit ist für mich auch ganz klar, warum der Exponent sich um 1 reduziert hat.

Vielen lieben Dank und liebe Grüße,

Thorsten

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Freut mich, wenn ich hier helfen konnte und du es verstanden hast.

Answer 2

In der ersten Zeile steht a₂ noch vor der gesamten Klammer

$$y=a_{2}((x+\frac{a_{1}}{2a_{2}})^{2}- (\frac{a_{1}}{2a_{2}})^{2})$$

Das sollte das Mißverständnis aufklären.

Nach dem Ausmultiplizieren der äußeren Klammer kürzt sich dann ein a₂ weg.