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Ein Beweis für die Umkehrung des Satzes des Pythagoras
Mithilfe eines Widerspruchsbeweises kann das gezeigt werden.
Widerspruchsbeweis: , Nimm das Gegenteil dessen an, was du beweisen möchtest. Zeige, dass
dies zu einem Widerspruch führt.
Wir müssen zeigen: Erfüllen die drei Seiten eines Dreiecks die Beziehung \( a^{2}+b^{2}=c^{2}, \) so ist das
Dreieck rechtwinklig. Mithilfe der Skizzen können wir
argumentieren:
Angenommen, der Winkel bei \( \mathrm{C} \) ist ein spitzer Winkel.
Dann können wir über \( \overline{A B} \) mithilfe des Thaleskreises
ein rechtwinkliges Dreieck \( A B C^{\prime} \) konstruieren,
welches in dem gegebenen Dreieck \( A B C \) enthalten ist.
Dann gilt: \( b^{\prime}<b \) und \( a^{\prime}<a \)
Daher ist \( a^{2}+b^{2}>\left(a^{\prime}\right)^{2}+\left(b^{\prime}\right)^{2}=c^{2} \).
Dies ist ein Widerspruch zur gegebenen
Voraussetzung, also kann der Winkel bei \( \mathrm{C} \) kein Spitzer
Winkel sein.
Führe eine entsprechende Argumentation für die Annahme, dass der Winkel bei Cein stumpfer
Winkel ist.
