Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen

Question

Aufgabe:

Wie wächst \( \ln (\mathrm{x}) \) ?

Für die Potenzen von e lassen sich die Funktionswerte von \( \ln (\mathrm{x}) \) bestimmen.
Man erkennt, dass die Funktion sehr langsam wächst.

a) Begründen Sie mithilfe der Beziehung von \( \ln (\mathrm{x}) \) zu \( \mathrm{e}^{\mathrm{x}}, \) dass die natürliche Logarithmusfunktion über alle Grenzen wächst.

b) Um eine gute Vorstellung über die Langsamkeit des Wachstums zu bekommen, hilft folgendes Gedankenexperiment:

•Wie lang müsste die \( \mathrm{x} \) -Achse sein, damit bei einer Skalierung \( 1 \mathrm{LE} \triangleq 1 \mathrm{~cm} \) der Graph der na-
türlichen Logarithmusfunktion \( 10 \mathrm{~cm} \) oberhalb der \( \mathrm{x} \) -Achse
angelangt ist?

•Ein DIN-A4-Blatt ist etwa \( 30 \mathrm{~cm} \) hoch. Wenn die Unterkante die \( x \) -Achse ist, wie lang müsste sie gezeichnet werden, damit der Graph von \( \ln (\mathrm{x}) \) die Oberkante des Blatts erreicht? Wie oft könnte man dieses Stück der \( x \) -Achse um den Äquator wickeln?

Problem: ich hab keine Ahnung wie ich a) und b) lösen soll :((

Wenn da der ein oder andere ist der mir helfen kann, wäre ich der Person sehr dankbar :)

!

Answer 1

\(\ln x\) ist die Umkehrfunktion von \(\mathrm{e}^x\). Den Graphen der Umkehrfunktion bekommst du aus dem Graphen einer Funktion indem man an der Geraden \(y=x\) spiegelt.

a) Man kann in \(\mathrm{e}^x\) beliebig große Zahlen für \(x\) einsetzen.

Wie lang müsste die \( \mathrm{x} \) -Achse sein, damit bei einer Skalierung \( 1 \mathrm{LE}\triangleq 1 \mathrm{~cm} \) der Graph der natürlichen Logarithmusfunktion \( 10 \mathrm{~cm} \) oberhalb der \( \mathrm{x} \) -Achse angelangt ist?

So lang wie die y-Achse, wenn man auf ihr \(\mathrm{e}^{10}\) eintragen möchte.