Beweisen, dass eine Teilmenge die nach unten unbeschränkt ist eine Folge an besitzt die gegen -unendlich konvergiert

Question

Hallo :)

hier eine Klausuraufgabe der Analysis 1 die ich leider nicht lösen konnte. Kann mir hier vielleicht jmd. helfen, da wäre ich sehr dankbar.

Sei ∅ ≠ M⊆ R eine Teilmenge von R, die nicht nach
unten beschränkt ist. Beweisen Sie, dass eine Folge (an)n∈N existiert, so dass an ∈ M für
alle n ∈ N und lim n→∞ an = −∞ gilt.

Answer 1

Sei a₁ ∈ M mit a₁ < 0. a₁ existiert, weil M nicht nach unten beschränkt ist.

Sei a_n+1 ∈ M mit

        a_n+1 < min({x ∈ ℝ | ∃i∈ℕ: i ≤ n ∧ x = 2·a_i})

für jedes n ∈ℕ. Dann ist

        lim_n→∞(a_n)_n∈ℕ = -∞.

Comments

Vielen Dank für die Antwort würde man die Fragestellung umdrehen , also M ist nach oben unbeschränkt zeige, dass es eine Folge gibt liman -> ∞

könnte man dann auch so argumentieren

Sei a1 ∈ M mit a1 > 0. a1 existiert, weil M nicht nach oben beschränkt ist.

Sei an+1 ∈ M mit

an+1 < 2·max({x ∈ ℝ | ∃i∈ℕ: i ≥ n ∧ x = ai})

für jedes n ∈ℕ. Dann ist

      limn→∞(an)n∈ℕ = ∞.

?

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a_n+1 < 2·max({x ∈ ℝ | ∃i∈ℕ: i ≥ n ∧ x = a_i})

>

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ach ja stimmt,

vielen Dank