Integration: ∫ e^x·cos(e^{x + 1}) dx

Question

Aufgabe:

\( e^{x} * \cos \left(e^{x+1}\right) d x \)

Ich denke das muss mit der partiellen Integration gelöst werden, wobei e^x=u" ist und e^{x+1}=v sein müsste. Leider komme ich aber auf das falsche Ergebnis.

Es müsste (1/e)*sin(e^{x+1}) heraus kommen.

Answer 1

∫ e^x·COS(e^{x + 1}) dx

Substitution:

z = e^{x + 1}
dz = e^{x + 1} dx
dx = dz / e^{x + 1}

∫ e^x·COS(z) dz / e^{x + 1}
∫ COS(z)/e dz
SIN(z)/e

Resubstitution

SIN(e^{x + 1})/e

Comments

Merke. wenn wir irgendwo eine Verkettung haben und die innere Funktion irgendwo außerhalb als Faktor auftaucht, kann man meist die Substitution bemühen.

---

Ich verstehe nur nicht ganz wieso sich e^x / e^{x+1} kürzen lässt ....

---

e^{x + 1} = e^x * e^1 = e * e^x

---

ok, das erklärt natürlich alles.
Vielen Dank für deine Hilfe!