Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau je 2 rot, weiß, grün und gelb?

Question

Aufgabe: Urnenmodell 2: Ich brauche Hilfe bei dieser Frage: In einem Kasten mit Bauteilen liegen 60 Teile, davon sind 10 Stück rot, 10 weiß, 15 grün, 5 gelb und der Rest blau. Ein Kind zieht 10 Teile wahllos aus dem Kasten und legt jedes Teil nach dem ziehen wieder zurück. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau je 2 rot, weiß, grün und gelb?

Problem/Ansatz:

Wie sieht der Lösungsweg dazu aus?

Answer 1

Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit, die Farben in genau der gegebenen Reihenfolge und am Ende zwei blaue zu ziehen.

(10/60)^2*(10/60)^2*(15/60)^2*(5/60)^2*(20/60)^2

=1/(6^2*6^2*4^2*12^2*3^2)

Jetzt muss noch die Reihenfolge berücksichtigt werden.

Die roten können an 10 über 2 Stellen liegen.

Die weißen an 8 über 2, die grünen an 6 über 2 und die gelben an 4 über 2. Für die blauen bleibt dann keine Auswahl mehr. Außerdem ist 2 über 2 gleich 1.

Nun alles multiplizieren.

\(\binom {10} 2  \binom 82\binom62\binom42\cdot\frac{ 1}{ 6^2*6^2*4^2*12^2*3^2}\\=\frac{45*28*15*6}{36*36*16*144*9} = \frac{175}{41472} \)

Fertig.

:-)

Comments

Gefordert ist das Urnenmodell 2, d.h. jedes Teil wird nach dem ziehen wieder zurück gelegt. Somit kann die Aussage:

"Die roten können an 10 über 2 Stellen liegen.
Die weißen an 8 über 2, die grünen an 6 über 2 und die gelben an 4 über 2. Für die blauen bleibt dann keine Auswahl mehr. Außerdem ist 2 über 2 gleich 1."

Nicht stimmen, oder?

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Die Teile werden zwar zurück gelegt, können aber an verschiedenen Stellen auftauchen.

Rot also auf Platz 1 und 2 oder auf Platz 5 und 9 oder...

Für rot gibt es 45 Möglichkeiten.

Da zwei Plätze vergeben sind bleiben für die nächsteFarbe 8 Plätze usw.

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Die Reihenfolge ist nicht zu beachten. Wichtig ist die folgende Form: P(je 2 rote, weiße, grüne, gelbe)= (k über k1) X (10/60)2X (10/60)2X (15/60)2X (5/60)2X (20/60)2. Also ich muss wissen was in die erste Klammer muss. Normalerweise ist k die Anzahl der Ziehungen also 10 und k1 die Anzahl der günstigen Ziehungen also 5x 2 aber das ergibt doch auch 10 und dann steht da 10 über 10.

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Stell dir vor, du notierst die Ziehung.

Dann könnte es

rot blau grün rot gelb gelb weiß blau weiß grün

sein.

Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür.

Answer 2

Ansatz::

Zeichne zuerst ein Baumdiagramm, 4 Äste als erstes einzeichnen für die jeweiligen Farben...

Rot 10/60 = 1/6

Weiß auch 1/6

Grün 15/60 gekürzt = 3/12 = 1/4

Gelb 5/60 = gekürzt ergibt es 1/12

Blau= 10+10+15+5=40 sind in anderer Farbe also 60-40=20, 20 sind Blau, also 20/60 = 1/3

Jetzt weiter verzweigen

Comments

Ich brauche aber die beschreibende Formel der Bernoulli-Ketten. Sprich insgesamt so: P(je 2 rote, weiße, grüne, gelbe)= (k über k₁) X (10/60)²X (10/60)²X (15/60)²X (5/60)²X (20/60)². Also ich muss wissen was in die erste Klammer muss.