Aloha :)
Betrachte die lineare Näherung der Funktion:$$f(x)\coloneqq\sqrt{n^2+x}$$Die erste Ableitung lautet:$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{n^2+x}}$$und die Taylornäherung erster Ordung lautet$$f(x)\approx f(0)+f'(0)\cdot(x-0)=\sqrt{n^2}+\frac{1}{2\sqrt{n^2}}x\quad\implies\quad\boxed{\sqrt{n^2+x}\approx n+\frac{x}{2n}}$$Damit gehen wir in die Aufgaben:
$$\sqrt{17}=\sqrt{16+1}=\sqrt{4^2+1}\approx 4+\frac{1}{2\cdot4}=4,125$$$$\sqrt{132}=\sqrt{121+11}=\sqrt{11^2+11}\approx11+\frac{11}{2\cdot11}=11,500$$$$\sqrt{2,567}=\sqrt{\frac{256,7}{100}}=\sqrt{\frac{256}{100}+\frac{0,7}{100}}=\sqrt{\left(\frac{16}{10}\right)^2+\frac{7}{1000}}\approx\frac{16}{10}+\frac{\frac{7}{1000}}{2\cdot\frac{16}{10}}$$$$\phantom{\sqrt{2,567}}=\frac{16}{10}+\frac{\frac{7}{1000}}{\frac{16}{5}}=\frac{16}{10}+\frac{7}{1000}\cdot\frac{5}{16}=1,6+0,0021875=1,602$$
