Das ist eine typische Extremwertaufgabe.
Auch wenn man weiß das es ein Quadrat sein muss hier mal der Weg.
1. Aufstellen der Hauptbedingung. Wir stellen einen Term für den Ausdruck auf der extremal werden soll. Hier soll der Flächeninhalt maximal werden daher stelle ich den Term für die Fläche auf.
Hauptbedingung:
A(x, y) = x * y
Ungünstiger Weise habe ich jetzt eine Funktion in Abhängigkeit von 2 unbekannten. Daher muss ich durch eine Nebenbedingung eine Unbekannte durch die andere ersetzen. Die Nebenbedingung ist hier das der Umfang 20 m sein soll.
Nebenbedingung:
U = 2x + 2y = 20
2y = 20 - 2x
y = 10 - x
Das benutzen wir jetzt um unsere Hauptbedingung zu vereinfachen.
A(x, y) = x * y
A(x) = x * (10 - x) = 10x - x^2
Unsere Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel die im Scheitelpunkt ihr Maximum annimmt. Der Scheitelpunkt befindet sich zwischen den Nullstellen, die wir aus A(x) = x * (10 - x) direkt ablesen können. Die Nullstellen sind bei 0 und 10 und somit liegt der Scheitelpunkt bei x = 5.
Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:
y = 10 - x = 10 - 5 = 5
Damit sind x und y = 5 und die Fläche hat die Form eines Quadrates.
Ich hoffe ich konnte helfen.
