Bestimmen Sie die genaue Lage und Größe des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt.

Question

Aufgabe:

Die rechte obere Ecke eines Rechtecks soll auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)=-3x+1  liegen und die linke untere Ecke in Ursprung des Koordinatensystems. Die Seiten des Rechtecks liegen auf bzw. parallel zu den Koordinatenachsen.

a) Bestimmen Sie die genaue Lage und Größe des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt.

Problem/Ansatz:

ich habe versucht diese Aufgabe zu verstehen und zu lösen allerdings ohne Erfolg, deswegen wüsste ich gerne wie ich diese Aufgabe rechnen muss.

Answer 1

Zeichne dir mal die Gerade zu f(x)=-3x+1  .

Damit das mit links unten und rechts oben passt,

kann der obere rechte Eckpunkt sich nur für 0<x< 1/3  auf

der Geraden bewegen. Er hat dann die Koordinaten (x ; -3x+1)

und das Rechteck also den Flächeninhalt A(x)= x*(-3x+1) =-3x^2 + x

==>  A ' (x) =  -6x + 1   und das ist nur 0 für x=1/6.

Und A ' ' (x) = -6 < 0 , also Maximum für x=1/6.

Dann sind die 4 Ecken sind dann

(0;0) , ( 1/6 ; 0) , ( 1/6 ; 1/2 ) , ( 0 ; 1/2 ) .

und hat den Flächeninhalt 1/12.

Comments

Ich habe das immer noch nicht ganz verstanden, wieso kann der obere rechte punkt sich denn nur zwischen 0<x<1/3 bewegen?

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Wenn er auf der Geraden weiter wandert, ist er

entweder links von (0;0) oder unterhalb von (0;0).

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Ah achso ok ich hatte einen Denkfehler danke!