Aufgabe:
1) Sei \( (V,\|\cdot\|) \) ein normierter Vektorraum. Wir definieren den Abstand von \( x, y \in V \) durch \( d(x, y):=\|x-y\| . \) Zeige, dass dies die Axiome einer Metrik erfüllt.
Problem/Ansatz:
Also dass es größer gleich 0 ist ist sehr einfach zu zeigen, da die Wurzelfunktion ja schon positiv definiert ist, und auch die Symmetrie ist trivial, weil es durhc das Quadrat immer positiv wird und so auch den gleichen Wert hat falls bei ||x-y|| das y>x ist. Bei der Dreiecksungleichung bin ich mir aber etwas unsicher.
Geoemtrisch macht es ja sehr viel Sinn, dass man von A nach B nicht so lange braucht wie wenn man zuerst von A nach C fährt und von dort erst nach B beziehungsweise braucht man mindestens gleich lange. Ich habe das also mit dem Satz des Pythagoras aufgeschrieben, indem ich ||x-z|| = A, ||x-y|| = B und ||y-z|| = C bezeichnet und die Gleichung A^2 <= B^2 + C^2 aufgeschrieben habe. Stimmt das so? Wenn nicht, wie beweist man die Dreiecksungleichung im Bezug auf Metriken richtig?
