Ermitteln der Matrix X? A*X-X*A=N

Question

,

könnt ihr mir bitte bei der Matrixgleichung helfen?

Ermitteln alle Matrizen X, Matrixgleichung A*X-X*A=N

N=

0	0
0	0

A=

-2	4
-4	-10

Welche dieser Matrizen X besitzen zusätzlich die Eigenschaft, singulär zu sein, also keine Inverse zu besitzen?

Vielen Dank

Answer 1

Setze:$$X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$und rechne A * X und X *A sowie A*X - X*A aus:$$A*X=\begin{pmatrix} -2a+4c & -2b+4d \\ -4a-10c & -4b-10d \end{pmatrix},X*A=\begin{pmatrix} -2a-4b & 4a-10b \\ -2c-4d & 4c-10d \end{pmatrix}$$$$A*X-X*A=\begin{pmatrix} 4b+4c & -4a+8b+4d \\ -4a-8c+4d & -4b-4c \end{pmatrix}$$$$A*X-X*A=N$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 4b+4c & -4a+8b+4d \\ -4a-8c+4d & -4b-4c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow 4b+4c=0\wedge -4a+8b+4d=0\wedge -4a-8c+4d=0\wedge -4b-4c=0$$Division durch 4$$\Leftrightarrow b+c=0\wedge -a+2b+d=0\wedge -a-2c+d=0\wedge b-c=0$$Es folgt:$$b+c=0\wedge b-c=0\Rightarrow b=c=0$$$$\Rightarrow -a+2b+d=0\wedge -a-2c+d=0$$$$\Leftrightarrow -a+d=0$$$$\Leftrightarrow a=d$$Die Matrix X hat also die Form:$$X=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$$Sie ist genau dann singulär, also nicht invertierbar, wenn gilt:$$detX=a*a=0$$$$\Leftrightarrow a=0$$

Comments

Deine Antwort ist falsch.

Grüße,

M.B.

Answer 2

die Antwort von JotEs ist ab der Zeile "Division durch 4" falsch.

Richtig ist

$$X = \begin{pmatrix}a & b \cr -b & a-2b \cr \end{pmatrix}$$

$$\det(X) = (a-b)^2$$

Singulär für $a = b$.

Grüße,

M.B.