Zahlenfolge Darstellung explizit rekursiv

Question

Aufgabe:

Zahlenfolge: 2,3,5,8,12,17,...

Habt ihr hier irgendwelche Tipps, wie ich auf die rekursiv, oder explizite Formel kommen kann.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo Hallo,

berechne jeweils die Differenz zwischen zwei auf einander folgenden Zahlen. Das ist hier 1,2,3,4,5,... - das bedeutet, es handelt sich um eine arithmetische Folge zweiter Ordnung der Form:$$x_k = ak^2 + bk + x_0$$Hier ist \(x_0=2\) das erste Folgenglied. Wenn Du zwei der Folgenglieder oberhalb von 2 dort einsetzt, kannst Du die Werte für \(a\) und \(b\) berechnen.

Kommst Du klar?

Comments

Habe das leider noch nicht ganz verstanden. Was meinst du mit a und b?

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Wie berechne ich a und b?

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Wie berechne ich a und b?

So wie ich es geschrieben habe: " Wenn Du zwei der Folgenglieder oberhalb von 2 dort einsetzt..." also z.B. \(x_1=3\) und\(x_2=5\) - das gibt$$a\cdot 1^2 +b \cdot 1 + 2 = 3 \\ a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + 2 = 5$$Ziehe das doppelte der ersten Zeile von der zweiten ab, dann erhältst Du$$2a - 2 = -1 \implies a = \frac 12$$und das setze wieder in der erste Zeile ein:$$\frac 12 + b + 2 = 3 \implies b = \frac 12$$Also lautet die explizite Formel für die Folge:$$x_k = \frac 12 k^2 + \frac 12 k + 2 = \frac k2(k+1) + 2$$

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Folgende Überlegung für die rekursive Formel: Die Differenz erhöht sich immer um 1. Die Differenz bkommt man, wenn man zwei Glieder von einander abzieht - also ist:$$x_k = x_{k-1} + (x_{k-1} - x_{k-2} + 1) = 2x_{k-1} - x_{k-2} + 1$$

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Okay, dadurch wird es klarer.Ich harke nur an einer Stelle. Wie zeihst du das doppelte der ersten Zeile von der zweiten ab. Kannst du da mal ein Rechenschritt geben?

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Wie kommst du bei x2 auf 5. Es müsste doch 8 ergeben?

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Wie zeihst du das doppelte der ersten Zeile von der zweiten ab. Kannst du da mal ein Rechenschritt geben?

Geht so:$$\begin{aligned} a\cdot 1^2 +b \cdot 1 + 2 &= 3 \\ a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + 2 &= 5 \end{aligned}$$bzw. $$\begin{aligned} a +b + 2 &= 3 \\ 4a + 2b + 2 &= 5 \end{aligned}$$Verdoppele die erste Zeile$$\begin{aligned} 2a +2b + 4 &= 6 \\ 4a + 2b + 2 &= 5 \end{aligned}$$... und ziehe die erste von der zweiten ab$$\begin{aligned} (4a-2a) + (2b-2b) + (2-4) &= 5-6 \\ 2a - 2&= -1 &&|\, +2 \\ 2a &= 1 &&|\, \div 2 \\ a&= \frac 12\end{aligned}$$

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\(\begin{aligned} (4a-2a) + (2b-2b) + (2-4) &= 5-6 \\ 2a - 2&= -1 &&|\, +2 \\ 2a &= 1 &&|\, \div 2 \\ a&= \frac 12\end{aligned}\)

wenn ich aber die erste von der zweiten abzehe, dann müsste es doch (2a-4a)+(2b-2b)+(4-2) = 6-5 lauten.

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Wie kommst du bei x2 auf 5. Es müsste doch 8 ergeben?

Du schriebst:

Zahlenfolge: 2,3,5,8,12,17,...

ich beginne beim Index 0 - also ist:$$x_0=2, \quad x_1=3, \quad x_2=5, \quad x_3=8, \dots$$

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Woher bei der 2.ten Reihe = 5???

Weil ich für \(x_2\) das \(x_2=5\) eingesetzt habe. Allgemein:$$x_k=ak^2+bk+x_0$$und für \(k=2\) soll doch gelten:$$x_2= a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + x_0 = 5$$

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wenn ich aber die erste von der zweiten abzehe, dann müsste es doch (2a-4a)+(2b-2b)+(4-2) = 6-5 lauten

ich habe aber von der zweite die erste Zeile abgezogen. ich schrieb:

Ziehe das doppelte der ersten Zeile von der zweiten ab,

das spielt aber keine Rolle! das kannst Du auch machen:$$\begin{aligned}(2a-4a)+(2b-2b)+(4-2) &= 6-5 \\ -2a + 2 &= 1 &&|\, -2 \\ -2a &= -1 &&|\, \div(-2) \\ a  &= \frac 12\end{aligned}$$

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ah, danke dir. Werde es nach deinem Schema mal an einer anderen Aufgabe versuchen. Deine Erklärungen waren sehr hilfreich

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Prima - freut mich :-)

Noch ein Tipp: Wenn \(d_0\) die Differenz von \(d_0=x_1-x_0\) ist und \(e\) die Differenz der Differenz - also \(e=d_1-d_0\), dann ist immer:$$a = \frac 12 e, \quad b = d_0 -a \\ x_k = ak^2 + bk + x_0$$

Das gilt nur für arithmetische Folgen 2.Ordnung!

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Ah, okay. Kurze frage noch. Woran merke ich, ob es 1. Ordnung, oder 2. Ordnung ist?

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Woran merke ich, ob es 1. Ordnung, oder 2. Ordnung ist?

bei arithmetische Folgen ist das die Anzahl der Differenz(Zeilen), bis zu der die Differenzen konstant sind. In Deinem Fall war das

2,3,5,8,12,17, ...

1,2,3,4,5, ... (1. Differenzenzeile)

1,1,1,1, ... (2. Differenzenzeile -> konstant)

also 2.Ordnung. Nehme mal die Quadratzahlen:

0,1,4,9,16,25,36,...

1,3,5,7,9,11, ... (1. Differenzenzeile)

2,2,2,2,2, ... (2. Differenzenzeile -> konstant)

also auch 2.Ordnung. Hier ist \(d_0 = 1-0=1\) und \(e=2\) (siehe 2.Differenzenzeile). Dann gilt nach meinem Tipp oben:$$a = \frac 12 e = 1, \quad b = d_0-a = 1 - 1 = 0 \\ \implies x_k = 1k^2 + 0k + x_0 = k^2$$

Aber es gibt auch andere:

3,4,6,10,18,34, 66, ...

1,2,4,8,16,32, ... (1. Differenzenzeile)

1,2,4,8,16, ... (2. Differenzenzeile)

1,2,4,8, ... (3. Differenzenzeile)

merkst Du was? Wenn sich die Differenzenfolgen nicht mehr ändern, dann ist es eine geometrische Folge. Dann bilde die Quotienten.

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Okay. Was passiert beispielsweise bei einer Folge, wo nicht immer alles addiert wird

Sprich: 20,30,21,30,22,30,...

Ist hier die Methode auch anwendbar?

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Ist hier die Methode auch anwendbar?

Nein - arithmetische und geometrische Folgen sind monoton. D.h. entweder werden die Folgenglieder immer größer oder immer kleiner oder bleiben immer gleich, aber das wäre trivial.

Wenn man zwischen jedem geraden und ungeraden Folgeglied unterscheiden will, so gibt es den Trick mit \((-1)^k\). Also in Deinem Beispiel oben ist $$x_k = 20 + \frac 12 k$$wenn \(k\) gerade ist und $$x_k = 30$$ für ungerade \(k\). Das kann man z.B. so zusammen fassen$$x_k = \frac{1+(-1)^k}{2} \left( 20 + \frac 12 k\right) + \frac{1+ (-1)^{k+1}}{2} \cdot 30$$

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Also den schritt kann ich nur bei einer 2. Ordnung machen

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Also den schritt kann ich nur bei einer 2. Ordnung machen

Ja - ich schrieb (s.o.):

Das gilt nur für arithmetische Folgen 2.Ordnung!

Answer 2

Aloha :)

$$a_1=2$$$$a_2=3=2+1$$$$a_3=5=2+(1+2)$$$$a_4=8=2+(1+2+3)$$$$a_5=12=2+(1+2+3+4)$$$$a_6=17=2+(1+2+3+4+5)$$$$a_n=2+\frac{n^2-n}{2}$$

Comments

Wie bist du auf das an gekommen. Gib es da irgendein Trick?

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Gibt es für an einen trick?

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Ich habe einfach nur von allen Werten die \(2\) subtrahiert$$2,3,5,8,12,17\quad\to\quad0,1,3,6,10,15$$Dann habe ich erkannt, dass immer \(1\) mehr dazu addiert wird: \(+1\), \(+2\), \(+3\), \(+4\), \(+5\).

Damit war dann die Formel für \(a_n\) klar.

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Damit war dann die Formel für \(a_n\) klar.

'klar' ist es nur dann, wenn man die Dreieckszahlen bzw. die Gaußsche Summenformel kennt.

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Du hast Recht, es ist im Jahr 2021 natürlich nicht mehr selbstverständlich, dass solche Grundlagen bekannt sind.

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Im Prinzip gibt es aber keinen allgemeinen Trick, sondern muss durch Probieren auf eine Lösung kommen, stimmts?

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Ja, man muss ein bisschen probieren. Ich habe früher im Studium oft geschrieben "durch intensives Ansehen gelöst". Mit etwas Übung kann man die "Muster" immer besser erkennen.

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stimmts?

Ja - "intelligentes Probieren" ist der Schlüssel. Meine Lieblingsfolge ist

8, 3, 1, 5, 9, 0, 6, ...

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Oha, dafür muss man aber Deutsch sprechen$$\ldots, 7,4,2,88,38,58,\ldots$$

Answer 3

Durch Ausprobieren:

Rekursiv:

a1=2

a2=3

a3=5

a4=8=2*2+3+1=2*a1+a2+1

a5=12=2*3+5+1=2*a2+a3+1

...

a(n)=a(n-3)+a(n-2)+1

:-)