Aussage zeigen: Existiert Konstante C ≥ 0 mit |f(x)-f(y)| ≤ C|x-y|^2 für alle x, y∈(a, b), so ist f auf (a, b) konstant.

Question

Aufgabe:

Seien a, b ∈ R, a < b und sei f : (a, b) → R eine Funktion.

Zeigen Sie die folgende Aussage: Existiert eine Konstante C ≥ 0 mit |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|^2 für alle x, y ∈ (a, b), so ist f auf (a, b) konstant.

Tipp: Zeigen Sie, dass ein solches f differenzierbar ist und bestimmen Sie die erste Ableitung.

Comments

Du kannst einfach die Ableitung von f in einem beliebigen Punkt \(x_0 \in (a,b)\) mit der h-Methode berechnen, also über den Differenzenquotienten.

Answer 1

Wähle \(x_0\in(a,b)\) beliebig. Für alle betragsmäßig hinreichend kleine \(h\in\mathbb R\setminus\lbrace0\rbrace\) gilt nach Voraussetzung:$$\qquad\left\lvert\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\right\rvert\le C\cdot\frac{\lvert x_0+h-x_0\rvert^2}{\lvert h\rvert}=C\cdot\lvert h\rvert.$$ Das bedeutet, dass der Grenzwert$$\qquad\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$$existiert und gleich Null ist. Die Funktion ist also an der Stelle \(x_0\) differenzierbar und die Ableitung ist dort gleich Null. Da \(x_0\) beliebig ist, ist \(f\) auf dem gesamten Intervall differenzierbar und die Ableitung von \(f\) ist identisch Null. Das heißt, dass \(f\) konstant ist.