Zeige, dass f konstant ist auf offenem Ball wenn Gradient immer 0

Question

Sei \(a\in \mathbb{R}^n\) und r>0. Sei \(f: B_r(a)\rightarrow \mathbb{R}\) eine stetige differenzierbare Funktion . Zeige:

Gilt \(\bigtriangledown f(x)=0\) für alle \(x\in B_r(a)\), so ist f auf \( B_r(a)\) konstant.

Mit \( B_r(a)\) offener Ball mit Radius r um a.

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung#Mittelwertsatz_f.C3.BCr_reellwertige_Funktionen_mehrerer_Variablen